3.3. Критерий подобия по сжимаемости газа

Рассмотрим массу газа , заключенную в движущемся объеме . Если при движении данной массы газа изменяется его давление, то изменяется объем , a следовательно, и плотность .

Сжимаемость газа характеризуется относительным изменением объема или плотности при изменении давления. Если два гидромеханических явления подобны, то относительные изменения плотности в соответственных точках должны быть одинаковы, т. е.

.

(3.11)

С другой стороны, степень изменения плотности при изменении давления характеризуется величиной местной скорости звука

или

.

По аналогии

.

Подставим эти выражения для в равенство (3.11):

,

отсюда

.

Поэтому выражение для сил давления можно записать в виде

.

(3.12)

Для отношения сил давления, действующих на соответственные элементы двух подобных гидромеханических явлений, согласно равенствам (2.13) и (2.14) имеем

.

(3.13)

Сравнивая выражения (3.12) и (3.13), получаем

.

(3.14)

После сокращения

.

Перепишем это выражение следующим образом:

.

Введя числа и , получаем

или

.

Итак, при соблюдении подобия по сжимаемости газа справедливо равенство чисел М в соответственных точках.

Следовательно, необходимым условием подобия по сжимаемости газа является равенство чисел М, подсчитанных по параметрам, определяющим данные явления,

.

Таким образом,

.

Число есть критерий подобия по сжимаемости газа.

Полученное число – важный критерий подобия, по которому аэродинамику разделяют по скоростям полёта. В несжимаемой жидкости число Маха равно нулю, так как в этой модели жидкости все возмущения распространяются мгновенно, и скорость звука равна бесконечности. Все уравнения, характеризующие движение несжимаемой жидкости, могут быть получены из уравнений для сжимаемой жидкости, если всюду положить число Маха равным нулю. Атмосферный воздух – сжимаемый газ, но при малых скоростях полёта он успевает растекаться перед обтекаемым телом, поэтому отдельные жидкие частицы не изменяют свой объём. Следовательно, в данном случае сжимаемость воздуха не проявляется и на этих режимах полёта он считается несжимаемым газом. В рассматриваемом диапазоне скоростей полагают, что число Маха равно нулю, но так считают не потому, что скорость потока всюду равна нулю, а потому, что скорость звука очень велика по сравнению со скоростью потока. В соответствии с изложенным аэродинамику по скоростям разделяют так:

1) – малые дозвуковые скорости (несжимаемый поток);

2) – большие дозвуковые скорости;

3) – трансзвуковые скорости;

4) – сверхзвуковые скорости;

5) – гиперзвуковые скорости.

Диапазон больших дозвуковых скоростей отличается от первого диапазона тем, что в нём проявляется сжимаемость газа. Течение в этом диапазоне всюду дозвуковое.

В диапазоне трансзвуковых скоростей имеются отдельные области течения, в которых скорость течения дозвуковая, и области, где скорость сверхзвуковая.

В диапазоне сверхзвуковых скоростей всюду сверхзвуковая скорость, но газ можно считать сплошной средой.

В диапазоне гиперзвуковых скоростей гипотеза сплошности не справедлива, поэтому необходимо учитывать молекулярное строение газа.

В диапазоне больших дозвуковых скоростей в случае, когда обтекаемое тело вносит малые возмущения в поток (такая ситуация возникает при малых углах атаки для тонких слабоизогнутых тел), коэффициент давления на поверхности тела может быть определён по формуле Прандтля

.

Здесь – коэффициент давления в некоторой точке поверхности тела при его обтекании сжимаемым потоком газа с числом Маха набегающего потока, равным ; – коэффициент давления в той же точке поверхности тела при его обтекании несжимаемым потоком газа.

В соответствии с формулой Прандтля аэродинамические коэффициенты профиля крыла в сжимаемом потоке газа выражаются через аналогичные коэффициенты в несжимаемом потоке:

, ,   , .

Эти выражения позволяют при экспериментальном определении аэродинамических характеристик тела в сжимаемом потоке газа отказаться от дорогостоящего эксперимента в сжимаемом потоке. В этом случае вначале находят искомые характеристики в аэродинамической трубе малых дозвуковых скоростей (несжимаемый поток) и по ним в соответствии с приведенными выше формулами находят характеристики тела в сжимаемом потоке. Указанное обстоятельство имеет важное значение, так как, например, в Украине аэродинамических труб малых дозвуковых скоростей достаточно много, а установка, позволяющая выполнять опыты в сжимаемом потоке, всего одна – это сверхзвуковая аэродинамическая труба Т-6, имеющаяся в Национальном аэрокосмическом университете им. Н.Е. Жуковского «ХАИ».

Число Маха оп­ределяет аэродинами­ческие характеристики лета­тельных аппара­тов во всём диапазоне скоростей полёта.

Рис. 11. Зависимость аэродинамических

характеристик крыла от числа Маха

На рис. 11 изо­бражена зависи­мость производной лета­тельного аппарата и относительной коор­динаты его фокуса от числа Маха. Анало­гичные зависимости существуют для всех аэродинамических коэффициентов, которые определяются только силами давле­ния.