1. Решите простейшее уравнение tg=a.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значение.

1) Пример:

Решить уравнение tgx=2

Используем формулу x=arctga+πk,k∈Z и получаем ответ x=arctg2+πk,k∈Z

2)

Билет №7.

1. Производная степенной функции, найдите.

2. Решите уравнение.

1)

Производная степенной функции

Если f(x)=xp, где p − действительное число, то (xp)′=pxp−1. Вывод этой формулы приведен на странице Определение производной.  Если показатель степени является отрицательным числом, т.е. f(x)=x−p(p>0), то (x−p)′=−px−p−1=−pxp+1. Производная полинома Пусть f(x)=anxn+…+a2x2+a1x+a0. Тогда f′(x)=nanxn−1+(n−1)an−1xn−2+…+2a2x+a1, где an, an−1, …, a1, a0, n − постоянные величины. В частности, для квадратичной функции (ax2+bx+c)′=2ax+b, где a, b, c − постоянные коэффициенты. Производная иррациональной функции Если f(x)=x√m, то такую функцию можно представить как степенную с показателем 1m. Ее производная равна f′(x)=(x√m)′=1mxm−1−−−−√m. В частности, производная квадратного корня имеет вид: f′(x)=(x√)′=12x√. Производная кубического корня, соответственно, равна f′(x)=(x√3)′=13x2−−√3.

Пример 1

Вычислить производную функции y=6x100+7x50+8x. Решение. Применим правило суммы: y′(x)=(6x100+7x50+8x)′=(6x100)′+(7x50)′+(8x)′. Вынесем постоянные множители за знак производной: y′(x)=6(x100)′+7(x50)′+8(x)′. Найдем производные степенных функций: y′(x)=6⋅100x99+7⋅50x49+8⋅1. Окончательно получаем y′(x)=600x99+350x49+8=2(300x99+175x49+4).

2) t= arccos a + 2 , k .

t= arcsin a +2 , t= - arcsin a + 2 , k .

t= arcsin a + , n

Билет №8.

1. Производное тригонометрических функций.

2. Решите неравенство.

1) К основным тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус (sinx), косинус (cosx),тангенс (tg x или tanx), котангенс (ctg x или cotx), секанс (secx) и косеканс (cscx).  Для каждой из этих функций существует обратная тригонометрическая функция. Они называются, соответственно, арксинус (arcsinx), арккосинус (arccosx), арктангенс (arctg x или arctanx), арккотангенс(arcctg x или arccot x), арксеканс (arcsec x) и арккосеканс (arccsc x).  Все указанные функции непрерывны и дифференцируемы в своей области определения. Далее мы составим список производных для этих 12 функций.

Производные основных тригонометрических функций

На странице Определение производной мы уже вывели производные для синуса и косинуса. Они имеют следующий вид:

(sinx)′=cosx,(cosx)′=−sinx.

Используя правило дифференцирования частного двух функций, легко получить выражение для производнойтангенса:

(tanx)′=(sinxcosx)′=(sinx)′cosx−sinx(cosx)′cos2x=cosx⋅cosx−sinx⋅(−sinx)cos2x=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x.

Точно также находится и производная котангенса. Однако это можно сделать и с помощью правила дифференцирования сложной функции:

(cotx)′=(1tanx)′=−1tan2x⋅(tanx)′=−1sin2xcos2x⋅1cos2x=−cos2xsin2x⋅cos2x=−1sin2x.

Аналогичным образом найдем производные функций секанса и косеканса:

(secx)′=(1cosx)′=−1cos2x⋅(cosx)′=sinxcos2x=sinxcosx⋅1cosx=tanxsecx,

(cscx)′=(1sinx)′=−1sin2x⋅(sinx)′=−cosxsin2x=−cosxsinx⋅1sinx=−cotxcscx.

Производные обратных тригонометрических функций

Производные обратных тригонометрических функций можно вывести, используя теорему о производной обратной функции. Так, например, для функции y=f(x)=arcsinx обратной функцией является синус, т.е.x=φ(y)=siny. Тогда производная арксинуса равна:

(arcsinx)′=f′(x)=1φ′(y)=1(siny)′=1cosy=11−sin2y−−−−−−−√=11−sin2(arcsinx)−−−−−−−−−−−−−−√=11−x2−−−−−√(−1<x<1).

Таким же способом можно вывести производные других обратных тригонометрических функций:

(arccosx)′=1(cosy)′=1(−siny)=−11−cos2y−−−−−−−−√=−11−cos2(arccosx)−−−−−−−−−−−−−−−√=−11−x2−−−−−√(−1<x<1),

(arctanx)′=1(tany)′=11cos2y=11+tan2y=11+tan2(arctanx)=11+x2,

(arccot x)′=1(coty)′=1(−1sin2y)=−11+cot2y=−11+cot2(arccot x)=−11+x2,

(arcsec x)′=1(secy)′=1tanysecy=1secysec2y−1−−−−−−−−√=1sec(arcsec x)⋅sec2(arcsec x)−1−−−−−−−−−−−−−−√=1|x|x2−1−−−−−√.

В последней формуле модуль |x| в знаменателе появляется в связи с тем, что произведение tanysecyдолжно быть всегда положительным в области допустимых значений y, где y∈(0,π2)∪(π2,π), т.е. производная арксеканса всегда положительна.  Аналогично определяется производная арккосеканса:

(arccsc x)′=1(cscy)′=−1cotycscy=−1cscycsc2y−1−−−−−−−−√=−1csc(arccsc x)⋅csc2(arccsc x)−1−−−−−−−−−−−−−−√=−1|x|x2−1−−−−−√.

Билет №9.

1. Признак возрастание и убывание функции, исследуйте.

2. Решите уравнение.