Билет №11.
Экстремула функции, найдите их в функции.
Решите уравнение.
1) Теорема 3. Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Теорема 4 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке Xи имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x=x0. Тогда:
а ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x<x0 выполняется неравенство f'(x)<0, а при x>x0 — неравенство f'(x)>0, то x=x0 — точка минимума функции y=f(x));
б ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x<x0 выполняется неравенство f'(x)>0, а при x>x0 — неравенство f'(x)<0, то x=x0 — точка максимума функции y=f(x)) ;
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0экстремума нет.
Для удобства условимся внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называть стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, —критическими.
Итак, чтобы определить экстремумы (минимумы и максимумы) функции f(x), сначала нужно найти критические точки, в которых f'(x)=0 или же производная не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда легко определить интервалы, в которых у производной неизменный знак. (Критические (стационарные) точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.)
Алгоритм исследования непрерывной функции y=f(x) на монотонность и экстремумы:
1. Найти производную f'(x).
2. Найти стационарные и критические точки.
3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
4. Опираясь на теоремы 1, 2 и 4, сделать выводы о монотонности функции и о ее точках экстремума.
Значит: если производная функции в критической точке
1) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального минимума;
2) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального максимума;
3) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
Пример:
Найти экстремумы функции f(x)=x2x−1.
Производная этой функции - f'(x)=x(x−2)(x−1)2, значит, критические точки функции, это x=0 и x=2. Точка x=1 не принадлежит области определения функции.
Они делят реальную числовую прямую на четыре интервала: (−∞;0)∪(0;1)∪(1;2)∪(2;+∞). Знак первого интервала положительный (например, f(−1)=0.75). Второго - отрицательный, третьего - отрицательный, четвёртого - положительный.
(−∞;0) |
(0;1) |
(1;2) |
(2;+∞) |
+ |
- |
- |
+ |
Значит, производная меняет знак только в точках x=0 и x=2.
В точке x=0 она меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка локального максимума со значением функции f(0)=0.
В точке x=2 она меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка локального минимума со значением функции f(2)=4.
Билет №12.
Исследование функции и построение её графика на примере.
Решите уравнение.
1)
2)
Билет №13.
Наибольшее и наименьшее значение функция на отрезке.
Решите уравнение.
1)
Наибольшее и наименьшее значения функции |
||||||
|
||||||
Определение наибольшего и наименьшего значения функции Рассмотрим функцию y=f(x), которая является непрерывной на отрезке [a,b]. Если существует точка x0∈[a,b], такая, что для всех x∈[a,b] выполняется неравенство f(x)≤f(x0), то говорят, что функцияf(x) принимает в точке x0 наибольшее (максимальное) значение на отрезке [a,b]. Наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a,b] является одновременно точной верхней граньюмножества значений функции на этом отрезке и обозначается как f(x0)=maxx∈[a,b]f(x)=supx∈[a,b]f(x). Аналогично, если существует точка x0∈[a,b], такая, что для всех x∈[a,b] выполняется неравенство f(x)≥f(x0), то функция f(x) принимает в точке x0 наименьшее (минимальное) значение на отрезке [a,b]. Наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a,b] является также точной нижней гранью множества значений функции на этом отрезке и записывается в виде f(x0)=minx∈[a,b]f(x)=infx∈[a,b]f(x). Введенные понятия характеризуют поведение функции на конечном отрезке, в отличие от локального экстремума, который описывает свойства функции в малой окрестности точки. Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке часто называют также глобальным (абсолютным) максимумомили, соответственно, глобальным минимумом. Теорема Вейерштрасса Согласно второй теореме Вейерштрасса о непрерывных функциях, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на нем своей точной верхней и нижней грани. Доказательство этой теоремы опирается на первую теорему Вейерштрасса, которая формулируется так: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на нем, т.е. существует число M, такое, что |f(x)|≤M для всех x∈[a,b]. Возвращаясь ко второй теореме Вейерштрасса, обозначим через M точную верхнюю грань множества значений функции (или наибольшее значение функции) на отрезке [a,b]. Предположим противное − что точная верхняя грань не достигается, т.е. допустим, что f(x)<M∀x∈[a,b]. Рассмотрим вспомогательную функцию: φ(x)=1M−f(x). Поскольку знаменатель не равен нулю, то функция φ(x) также непрерывна на [a,b] и, следовательно, по первой теореме Вейерштрасса ограничена на этом отрезке: φ(x)≤L, где L>0. Отсюда получаем, что φ(x)≤L,⇒1M−f(x)≤L,⇒M−f(x)≥1L,⇒f(x)≤M−1L∀x∈[a,b]. Другими словами, число M−1L будет являться точной верхней гранью функции f(x), что противоречит условию. (По условию, точная верхняя грань функции равна M.) Таким же образом можно доказать, что непрерывная на отрезке [a,b] функция достигает свой точной нижней грани (или наименьшего значения). Итак, согласно второй теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция всегда достигает своего наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Если функция на этом отрезке имеет локальные максимумы в точках x1,x2,…,xn, то наибольшее значениефункции f(x) на отрезке [a,b] равно наибольшему из чисел f(a),f(x1),f(x2),…,f(xn),f(b). Аналогично, если функция на этом отрезке имеет локальные минимумы в точках x¯1,x¯2,…,x¯k, тонаименьшее значение функции f(x) на отрезке [a,b] равно наименьшему из чисел f(a),f(x¯1),f(x¯2),…,f(x¯k),f(b). Таким образом, наибольшее (наименьшее) значения функции могут достигаться либо на границе отрезка (рисунок 1), либо в точках локального экстремума внутри отрезка (рисунок 2).
|
2)