2. Чисельне розв’язання рівнянь.

   • Функція root

На практиці часто приходиться мати справу з рівняннями, які містять в собі різного роду функції, і які розв’язати символьно практично неможливо. На практиці такі рівняння розв’язують підбором і підстановкою, а в MathCad для цього існує чисельний метод розв’язання рівнянь.

Для чисельного пошуку розв’язків алгебраїчних рівнянь з одним невідомим, в MathCad існує спеціальна функція root (корінь). Знаходиться в Функціях, в розділі Solving. Якщо визначена лише одна точка наближення до кореня, пошук розв’язку буде здійснюватися так званим методом січних. Якщо ж задано інтервал, на якому локалізовано розв’язок, то його пошук буде здійснено за із застосуванням методу поділу навпіл (або методу Больцано).

Якщо потрібно знайти корінь деякого рівняння, і відомо інтервал, на якому локалізований цей корінь, то найкраще використовувати функцію root з чотирьма аргументами: root (f(x),x,a,b), де f(x) – функція, що визначає рівняння, x – змінна, a,b – межі інтервалу локалізації. Обов’язковою умовою є те, що:

• значення функції на кінцях інтервалів повинні бути з протилежними знаками.

• функція f(x) повинна бути обмеженою і неперервною на проміжку (a,b).

• На проміжку локалізації повинен бути лише один корінь.

Приклад чисельного розв’язання рівняння методом Больцано.:

Розв’язати рівняння cos(2x)=0 на проміжку від 0 до π/3.

Розв’язання: При чисельному розв’язанні рівнянь бажано завжди будувати графік функції. Це допоможе уникнути помилок і правильно визначити потрібний інтервал локалізації коренів. Побудуємо графік нашої функції:

З мінимо межі по ОХ від (-π;π) для зручності. Поставимо маркери в точках π/4 та 3π/4. Очевидно, що всі корені цього рівняння рівняння мають вигляд: , де R – множина цілих чисел. Подивимось, чи знайде функція root корені даного рівняння на вказаному проміжку.

Корінь визначено вірно.

• Функція polyroots

У тому випадку, коли рівнянні задане алгебраїчним поліномом, в MathCad є спеціальна функція пошуку коренів polyroots (V). Де V – вектор, що складений з коефіцієнтів полінома. V= (х⁰,х¹,х²,…,хⁿ) де n – показник степеня. ((в MathCad записуємо зверху вниз від 0 до n)). Відповідь видається у вигляді вектора, що містить як дійсні, так і комплексні корені. Знаходиться в Функціях, в розділі Solving.

Приклад знаходження коренів полінома:

Знайти корені рівняння такого виду: х⁴+х³+х-10=0

Р озв’язання: Створюємо вектор коефіцієнтів і використовуємо функцію polyroots.

Бачимо, що рівняння має два дійсних кореня. Всі розв’язки записані у формі вектора в порядку зростання зверху вниз.

Замість того, щоб записувати коефіцієнти вручну, в MathCad існує можливість здійснити такий запис автоматично. Крім того програма може автоматично спростити поліном. Для цього в MathCad є спеціальний оператор Coeffs (коефіцієнти) панелі Symbolic (символьні).

Розглянемо наступний приклад на використання оператора Coeffs:

Розв’язати рівняння: (x²+x-3)²+(x-10)³ .

Розв’язання: Розв’яжемо рівняння за допомогою функції polyroots і для створення вектора з коефіцієнтів використаємо оператор Coeffs.

Б ачимо, що програма спростила рівняння автоматично і побудувала вектор його коефіцієнтів. Рівняння має два дійсних кореня і всі корені розміщені в порядку зростання зверху вниз.