Завдання 4 .

Дискретна випадкова величина задана рядом розподілу. Знайти функцію розподілу і побудувати її графік. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини.

х	1	2	4
р	0,1	0,8	0,1

Розв'язок

Знаходимо функцію розподілу за формулою:

F = Р (Х < х )

де Р (Х < х ) – імовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше за х.

При Х ≤ 1 F = Р (Х < 1) = 0

При 1 ≤ Х ≤ 2 F = Р (Х < 2) = Р (Х = 1) = 0,1

При 2 ≤ Х ≤ 4 F = Р (Х < 4) = Р (Х = 1) + Р (Х = 2) = 0,1 + 0,8 = 0,9

При Х > 4 F = Р (Х ≤ 4) = 1

Отже, функція розподілу має вигляд:

0, Х ≤ – 1

F (Х) = 0,1, 1 < Х ≤ 2

0,9, 2 < Х ≤ 4

1, Х > 4

Будуємо графік.

F (Х)

1

0,9

0,1

Х

0 1 2 3 4

Обчислюємо математичне сподівання М(х):

М(х) = ∑х р = 1 · 0,1 + 2 · 0,8 + 4 · 0,1 = 0,1 + 1,6 + 0,4 = 2,1

б) обчислюємо дисперсію D (х):

D (х) = М(х²) – [М(х)] ² = ∑х² р– [М(х)] ² = 1² · 0,1 + 2² · 0,8 + 4² · 0,1 – (2,1) ² =

= 0,1 + 3,2 + 1,6 – 4,41 = 0,49

Завдання 5.

Випадкова величина Х задана функцією розподілу F(Х). Знайти щільність розподілу f (Х), імовірність попадання випадкової величини в інтервал (α, β). Побудувати графіки функцій F(Х) та f(х).

0, Х ≤ 0

F (Х) = 2 sin х, 0 < Х ≤ π/6 α = 0, β = π/6

1, Х > π/6

Розв'язок

Знаходимо щільність розподілу за формулою:

f(х) = F ' (Х)

де F ' (Х) – перша похідна функції F(Х) в точці Х = х.

Знаходимо відповідні похідні.

При Х ≤ 0 F ' (Х) = 0 ' = 0

При 0 < Х ≤ π/6 F ' (Х) = (2 sin х) ' = 2 cos х

При Х > π/6 F ' (Х) = 1' = 0

Отже. функція щільності розподілу має вигляд:

0, Х ≤ 0

f (Х) = 2 cos х, 0 < Х ≤ π/6

0, Х > π/6

Знаходимо імовірність попадання випадкової величини Х в інтервал

(α = 0, β = π/6 ) за формулою:

Р (α < Х < β) = F (β ) – F (α)

де F (α) – значення функції F(Х) в точці Х = α,

F (β ) – значення функції F(Х) в точці Х = β

Р (0 < Х < π/6) = F (π/6 ) – F (0) = 2 sin π/6 – 0 = 2 · 0.5 = 1,0

Будуємо графіки.

Графік функції F(Х):

F (Х)

1 ,0

0 π/6 Х

Графік функції f(Х):

f (Х)

2

3

Х

0 π/6