Завдання 7.

Відомо математичне сподівання а і середнє квадратичне відхилення σ нормально розподіленої випадкової величини Х. Знайти імовірність попадання цієї величини в заданий інтервал (α,β)

а = 2, σ = 5, α = 4, β = 9.

Розв'язок

Імовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини Х в заданий інтервал (α,β) розраховуємо за формулою:

β – а α – а

Р (α < Х < β) = Ф ( ––––– ) – Ф ( ––––– )

σ σ

де а – математичне сподівання;

σ – середнє квадратичне відхилення

(α,β) – заданий інтервал

1 х

Ф (х) = ––––– ∫ е ^{– t²/ 2} dt –функція Лапласа

2 π 0

α – а β – а

х₁ = –––––––; х₂ = –––––––;

σ σ

Знаходимо х₁ та х₂

4 – 2 2

х₁ = ––––––– = –––– = 0,4;

5 5

9 – 2 7

х₂ = ––––––– = ––– = 1,4

5 5

За таблицею значень функції Лапласа знаходимо:

Ф ( 0,4 ) = 0,1555

Ф (1,4) = 0,4190

Звідси, Р (4 < Х < 9) = Ф (1,4) – Ф ( 0,4) = 0,4190 – 0,1555 = 0,2635

Завдання 8.

Дано закон розподілу дискретної двомірної випадкової величини (Х,Y). Знайти коефіцієнт кореляції між Х та Y.

Y Х	–1	0	1
1	0,15	0,15	0,25
2	0,15	0,10	0,20

Розв'язок

Коефіцієнт кореляції обчислюємо за формулою:

К

ρ = ––––––

σ_х σ_у

де К = М (ХY) – М(Х) · М(Y) - коваріація

М (ХY) – математичне сподівання двомірної випадкової величини ХY

М (Х) – математичне сподівання випадкової величини Х

М (Y) – математичне сподівання випадкової величини Y

σ_х – середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х

σ_у– середнє квадратичне відхилення випадкової величини Y

Знаходимо необхідні показники.

М (ХY) = ΣΣхyр_хр_y = 1 (–1 · 0,15 + 0 · 0,15 + 1 · 0,25) +

+ 2 (–1 · 0,15 + 0 · 0,10 + 1 · 0,20) = 1· 0,1 + 2 · 0,05 = 0,2

М (Х) = Σхр_х = 1 (0,15 + 0,15 + 0,25) + 2 (0,15 + 0,10 + 0,20) =

= 1· 0,55 + 2 · 0,45 = 0,55 + 0,9 = 1,45

М (Y) = Σyр_y = –1 (0,15 + 0,15) + 0 (0,15 + 0,10) + 1 (0,25 + 0,20) =

= – 1· 0,30 + 0 · 0,25 + 1 · 0,45= – 0,30 + 0,45 = 0,15

К = 0,2 – 1,45 · 0,15 = 0,2 – 0,2175 = – 0,0175

σ_х = М(Х²) – [М(Х)] ² = 1² (0,15 + 0,15 + 0,25) + 2² (0,15 + 0,10 + 0,20) –

– 1,45² = 1· 0,55 + 4 · 0,45 – 2,1025 = 0,55 + 1,8 – 2,1025 = 0,2475

σ_у = М(Y²) – [М(Y)] ² = –1² (0,15 + 0,15) + 0² (0,15 + 0,10) +

+ 1² (0,25 + 0,20) – 0,15² = 0,30 + 0,45 – 0,0225 = 0,7275

Звідси коефіцієнт кореляції між Х та Y становить:

– 0,0175 – 0,0175

ρ = –––––––––––––– = –––––––––– = – 0,097

0,2475 · 0,7275 0,18

Отже, кореляційний зв’язок між Х та Y є оберненим, слабким.