§ 1.4 Метод сечений. Внутренние усилия

 

Решение основных задач сопротивления материалов невозможно без определения внутренних сил. Внутренние силы находят методом сечений. Последовательность следующая:

а) Р – разрезаем стержень некоторой плоскостью

б) О – отбрасываем одну часть (мысленно)

в) У – уравновешиваем оставшиеся внешние силы внутренними силами, возникающими в проведенном сечении между частицами материала;

г) П – приводим внутренние силы в данном сечении к эквивалентным главному вектору и главному моменту (центр приведен – центр тяжести).  

Рис. 1.1.

  Разложим главный вектор и главный момент на составляющие вдоль координатных осей. Начало координат выберем в центре тяжести сечения, ось z направим по нормали к сечению, а оси х, у – в плоскости сечения.

 

Рис. 1.2.

  Обозначим составляющие главного вектора и главного момента – N, Q_x, Q_y, T, M_x, M_y. Для этих составляющих приняты следующие названия: N – продольная сила; Q_x, Q_y - поперечные силы, Т – крутящий момент; M_x, M_y – изгибающие моменты. Эти 6 величин называются внутренними силовыми факторами (В.С.Ф.).

Рассмотрим равновесие отсеченной части под действием внешних сил и В.С.Ф.

Рис. 1.3

                                                                  (1.1)

  Из уравнений (1.1) найдем все шесть В.С.Ф. Следуем отметить, что учитываются внешние силы, действующие только с одной стороны от проведенного сечения. Каждый из шести В.С.Ф. связан с определенным видом сопротивления (деформации) сжатия.

  Таблица 1.1

Классификация видов нагружения в зависимости от действующих в.С.Ф.

 

№ п/п	В.С.Ф.	Рисунок	Название вида нагружения
1.	N		Центральное растяжение и сжатие
2.	Qx, Qy		Сдвиг (срез)
3.	Т		Кручение
4.	Мх		Изгиб
5.	N, Qx, Qy, T, Mx, My		Сложное сопротивление

§ 1.5 Напряжение в точке: полное, нормальное, касательное. Напряженное состояние в точке

В проведенном сечении действуют распределенные внутренние усилия. Мерой интенсивности распределения внутренних сил является напряжение – внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади.

D А - площадь элементарной площадки.

- равнодействующая внутренних, действующих на площадке D А.

- среднее напряжение на площадке.

(1.2) – напряжение в точке.

  Разложим на составляющие:

s - нормальное напряжение, проекция на направление нормали.

t - касательное напряжение, проекция на плоскость сечения.

Рис. 1.5

Нормальное напряжение s является мерой сопротивления материала отрыву, а касательное t  - сдвигу.

Размерность r, s, t - паскаль, мегапаскаль. При решении задач удобнее заменять 1МПа = 10­⁶ Н/м² = 1 Н/мм².

Знаки s  и  t:

-         растягивающее нормальное s напряжение положительно, снимающее – отрицательно.

-         знак у касательного напряжения s определяется по правилу внешней нормали (см. гл. 4 ).

Через исследуемую точку стержня можно проводить сечения в любых направлениях. Разложение полного напряжения на составляющие и будет зависеть от направления проведенного сечения (площадки).

Совокупность s и t на всех элементарных площадках, которые можно провести через данную точку, называется напряженным состоянием в точке.

Исследование напряженного состояния в точке проводят, вырезая в окрестности точки элементарный прямоугольный параллелепипед (рис. 1.6).

Напряжения на гранях вырезанного параллелепипеда характеризуют напряженное состояние в точке.

Рис. 1.6

Оценка прочности проводится по максимальным нормальным или касательным напряжениям.

 

; , (1.3)

  где s_adm и t_adm – допускаемые значения нормального и касательного напряжений, зависящие от материала и условия работы рассчитываемого элемента.