1.4.5. Моменты инерции

Для материальной кривой АВ с линейной плотностью μ (х, у) моменты I_x, I_y, I_O инерции относительно осей Ох и Оу и начала координат равны

Пример 8. Найти моменты инерции относительно координатных осей и начала координат четверти окружности

х² + у² = а², х ≥ 0, у ≥ 0. Плотность распределения масс дуги постоянна и равна k.

Данная кривая (четверть окружности) симметрична относительно биссектрисы у = х первого координатного угла. Отсюда заключаем, что I_x и I_y одинаковы, т.е. I_x = I_y = k = k .

Переходя к параметрическим уравнениям окружности x = a cos t, y = a sin t, 0 ≤ t ≤ , откуда dl = a dt , получаем

= a³ = = = .

Т.о. . I_x = I_y = , I_О = I_x + I_y = .

Задание для самостоятельного решения

1. Найти момент инерции относительно оси Oz первого витка винтовой линии x = a cos t, y = a sin t, z = bt.

2. Криволинейный интеграл 2-го рода (по координатам)

2.1. Основные понятия и определения

Пусть в плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) и вектор-функция

F(M) = P(M)i + Q(M)j, определенная в некоторой области D, содержащей эту точку.

Разобьем кривую АВ на части точками А =А₀, А₁, А₂, ... , А_n= B, координаты которых

о бозначим соответственно через ( x₀, y₀ ), ( x₁, y₁ ), ... , ( x_n, y_n ).

Выберем на каждой дуге A_k A_k+1 произвольную точку M_k (  _k , _k ) и составим сумму

Ее называют интегральной суммой для вектор-функции F( x, y) = P( x, y) i + Q( x, y) j по кривой АВ.

Условие существования криволинейного интеграла 2-го рода представляет следующая теорема

Теорема 1. Если функции P ( x, y) и Q ( x, y) непрерывны в каждой точке гладкой кривой АВ, то криволинейный интеграл 2-го рода существует.

2. Некоторые свойства криволинейного интеграла 2-го рода

2. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода

Желательно сделать рисунок кривой!

Параметрическое представление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями x = x ( t ), y = y ( t ), t  [ ,  ], где функции x ( t ) и y ( t ) непрерывны вместе со своими производными x ( t ) и y ( t ) на отрезке [ ,  ], причем изменению параметра t от  до  соответствует движение точки М (х, у) по кривой АВ от точки А к точке В ( точке А соответствует t = , точке В - значение t =  ).

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода сводится к вычислению определенного интеграла:

Задания для самостоятельного решения (в скобках ответы)

Явное представление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана уравнением y =  ( х ), х  [ a, b ], где функция  ( х ) и ее производная  ( х ) непрерывны на отрезке [ a, b ], то из формулы (3), приняв х за параметр, имеем параметрические уравнения кривой АВ: х = х, у =  ( х ), х  [ a, b ],

Задания для самостоятельного решения (в скобках ответы)

Задание для самостоятельного решения (в скобках ответ)