2. Приложения криволинейного интеграла 2-го рода

2.4.1. Работа переменной силы

Интеграл можно представить в виде интеграла от скалярного произведения векторов F = P i + Q j и ds = i dx + j dy: = .

В таком случае

выражает работу переменной силы F = P i + Q j при перемещении материальной точки

М = М(х, у) вдоль кривой L = АВ от точки А до точки В.

2.4.2. Условие Грина. Формула Остроградского-Грина

Предположим, что в плоскости Оху имеется односвязная область D

(это значит, что в ней нет «дыр»), ограниченная кривой L = D ( D –

граница области D), а в области D и на ее границе D функции P( x, y)

и Q( x, y) непрерывны вместе со своими частными производными. Рис.2.

Теорема 2. Пусть А и В – произвольные точки области D, AmB и AnB – два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (рис.2). Тогда следующие условия равносильны:

1. = (условие Грина).

2. = (криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования).

3. = 0 (интеграл по любому замкнутому пути равен нулю).

4. Pdx + Qdy = dU (выражение Pdx + Qdy представляет собой полный дифференциал

некоторой функции U = U(x, y))

1. В случае выполнения любого из условий теоремы криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки (х₁, у₁) и (х₂, у₂) из области D, можно вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница

= = U(х₂, у₂) – U(х₁, у₁) ,

где U(х, у) – некоторая первообразная для Pdx + Qdy.

С другой стороны, первообразная U(х, у) выражения Pdx + Qdy может быть найдена при помощи криволинейного интеграла

U(х, у) = .

2. В этих же условиях на функции P(х, у) и Q(х, у), а также на область D, имеет место формула Грина (Остроградского-Грина), позволяющая свести криволинейный интеграл по замкнутому контуру к двойному интегралу

= .

Здесь предполагается, что обход границы D области D в криволинейном интеграле совершается в положительном направлении, т.е. при таком подходе границы область D остается слева; для односвязной области это направление совпадает с направлением против часовой стрелки.

3. Площадь S = S(D) области D может быть вычислена при помощи криволинейного интеграла второго рода

S = .

Задание для самостоятельного решения (в скобках ответ)

Пример 6. Проверить, является ли выражение dx + dy полным дифференциалом некоторой

функции U(x, y) и если да, то найти эту функцию.

Обозначим P = , Q = . Тогда = , = . Т.о., условие Грина = имеет место при у ≠ 0. Следовательно, данное выражение есть полный дифференциалом некоторой функции U(x, y), которая может быть найдена как криволинейный интеграл , где

(х₀, у₀) – произвольная фиксированная точка плоскости Оху, не лежащая на оси Ох

(т.к. у₀ ≠ 0). Положим (х₀, у₀) = (0, 1), а в качестве пути интегрирования выберем

путь L = ABC, изображенный на рис. 3. Тогда сокращенно можно написать

U(x, y) = = = = + .

Имеем: 1) (АВ): у = 1, т.е. dy = 0 и = (3х² + 1) dx = х³ + x. Рис.3.

2) (BC): х – фиксировано, следовательно, dх = 0, откуда

= = = х³у + – х³ – х.

Т.о., U(x, y) = х³ + x + х³у + – х³ – х = х³у + .

Проверка показывает, что действительно, dU = d = dx + dy .

Задание для самостоятельного решения (в скобках ответ)

Задание для самостоятельного решения (в скобках ответ)

Пример 9. Найти работу силы F = yx i + (y + x) j при перемещении материальной точки по прямой у = х из

точки О(0; 0) в точку В(1; 1).

А = = = = .

Задание для самостоятельного решения (в скобках ответ)