2. Характеристикалық көпмүше. Сызықтық оператордың өзіндік мәндері мен векторлары

А – X n-өлшемді сызықты кеңістіктегі сызықты оператор болсын, А операторының өзіндік мәні, – өзіндік вектор:

өзіндік мәндері характеристикалық теңдеуінің түбірлері.

көпмүшесі A матрицасының характеристикалық көпмүшесі деп аталады.

характеристикалық көпмүшелігі – n дәрежелі көпмүше:

.

Егер – А матрицасының характеристикалық көпмүшелігі, ал – оның өзіндік мәндері болса, онда және

матрицаларының характеристикалық көпмүшелері сәйкес келеді.

Мысал.

Сызықтық оператордың өзіндік мәндері мен векторлары

нөлдік емес векторы сызықты оператордың өзіндік мәні болып табылады, егер , болса.

Егер f операторы қайсыбір базисінде А матрицасын, сол базисте векторы X координаталық бағанын қамтиды, онда немесе .

сызықты операторының λ өзіндік мәндері – характеристикалық теңдеуінің түбірлері, мұндағы операторының матрицасы, – Кронекер символы.

Әрбір өзіндік мәні үшін өзіндік векторлар матрицалық теңдеуінен немесе соған сәйкес сызықты теңдеулер жүйесінен табылуы мүмкін:

………………………………………….......

Сызықты оператор қарапайым құрылымды оператор деп аталады, егер осы оператордың өзіндік векторларынан құралған базис бар болса. Сызықты оператордың осы базистегі матрицасы келесі түрде:

Мұндағы - сәйкес өзіндік мәндер.

3. Түйіндес оператор. Сызықтық оператордың және оның түйіндесінің матрицалары арасындағы байланыс

4. Ах+Ву+Сz+Д көпмүшесінің геом. Мағынасы. Жазықтықтың жалпы теңдеуі. Екі жазықтықтың өзара орналасуы.

Жазықтықтың жалпы теңдеуі

1. Кеңістіктегі афин координаттар жүйесінде жазықтық 1-дәрежелі теңдеумен анықталады:

Ах+Ву+Сz+Д=0 (4)

X/(-D/A)+Y/(-D/B)+Z/(-D/C)=1; -D/A=a; -D/B=b; -D/C=c;

Бұдан: X/a+Y/b+Z/c=1

Жазықтықтың кесінділері арқылы:

1. x=y=0 => z=c

2. x=z=0 => y=b

3. y=z=0 => x=a

Екі жазықтықтың орналасуы және арасындағы бұрыш.

1)

2)

₃₎

Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш –ол нормаль-р-ң арасындағы бұрыш.

5. Түзудің әртүрлі теңдеулері. Кеңістіктегі түзудің параметрлік теңдеулері, канондық теңдеуі, жалпы теңдеуі. Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш. Кеңістікте екі түзудің өзара орналасуы. Екі түзудің арасындағы бұрыш.

Жазықтықтағы түзу теңдеулердің түрлері

Ан: Берілген түзуге параллель болатын кез- келген нөлдік емес вектор оның бағыттауыш векторы д.а.

- р түзуінің бағыттауыш векторлары

M(x,y)= = - Mнүктесінің радиус-векторы деп аталады.

= ={x,y}

Түзудің теңдеуін жазу үшін о-ң бойында жатқанбір нүкте ж/е бағыттауыш вектор қарастырылады

P түзу берілген

‌‌‌׀׀P=> ‌‌{l,m} –бағыттауыш вектор

M₀=(x₀,y₀) ЄP

• M(x,y) ЄP- ағынды нүкте

‌ (1) -түзудің векторлық параметрлік теңдеуі

t (-∞;+∞) ={x,y}; ={x₀,y₀}

x=x₀+t*l , y=y₀+t*m (2) координаттар теңдуі

t=(x-x₀⁄l)=( y-y₀⁄m) (3) түзудің канондық теңдеуі

Түзудің жалпы теңдеуі

Теорема: 1) Жазықтықтағы түзу әрқашан келесі бірінші дәрежелі теңдеумен анықталады:

Ax+By+C=0 (4)

2) Кері (4) түрді кез келген теңдеу жазықтықтықтағы түзудің теңдеуі болады.

Д/y :1) (3) түзу (x-x₀⁄l)=( y-y₀⁄m)

Mx+(-l)y+(ly₀-mx₀)=0

m=A; -l=B; ly₀-mx₀=C

Ax+By+C=0

2) Ax+By+C=0=>(3)

(4)-ң алгебра бойынша САТЖ ретінде қарастырсақ шексіз көп шешімі бар

(4) шешімін қарастырсақ: x_0,y₀

Ax₀+By₀+C=0 (5)

(4)-(5)=> A(x-x₀)+B( y-y₀)=0 (6)

(x-x₀⁄(-B))=( y-y₀⁄A) (7)

Салдары1: (7) б-ша ‌‌={-B,A} түзу бағ. ‌‌

Салдары2: (6) {A,B}

={ x-x₀ ; y-y₀}

( , )=0 => ┴ => ┴P

Ан: Ax+By+C=0 түзудің жалпы теңдеуі д.а.

={A,B} 0-ң нормаль векторы д.а.

2 нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі

a= ׀׀P={x₂-x₁; y₂-y₁}

(3)=(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁) (8)

Кесінділер арқылы жазылған теңдеу

Ax+By+C=0 ; Ax+By=-C /-C

x/(-C/A)+y/(-C/B)=1 =>-C/A=a; -C/B=b

x/a+y/b=1 (9)

1. x=0 =>y=b

2. y=0 =>x=a

a,b>0

a,b<0

Бұрыштық коэффициет арқылы түзудің теңдеуі

‌‌={l,m} (3) (x-x₀⁄l)=( y-y₀⁄m)

M(x-x₀)/l= y-y₀ m/l=tgα=k

y=k(x-x₀)+y₀ y=kx+( y₀-kx)

y-kx=b y=kx+b