6. Комплекс сандар және оларға амалдар қолдану.Комплекс санның алгебралық және поляр (тригонометриялық ), экспоненциальды түрде жазылуы

Анықтама. Z=a+bi түріндегі санды комплекс сан деп атаймыз.

a = Re– z-тің нақты бөлігі

b= Im – z-тің жорамал бөлігі

Z=a+bi – комплекс санның алгебралық түрі.

–комплекс санның модулі

; ; b=rsin; a=rcos

z=r(cos+isin) – комплекс санның тригонометриялық түрі.

Комплекс сандарының қосындысы комплекс сан болады.

Қосудың қасиеттері:

"z₁,z₂,z₃C үшін (z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃),

$0C, "zC , z+0=0+z=z ,

"zC, $ –zC, z+(–z)=(–z)+z=0 ,

"z₁,z₂C; z₁+z₂=z₂+z₁ .

Комплек сандардың көбейтіндісі комплекс сан.

z=z₁×z₂=(a+bi)×(c+di)=(ac–bd)+(bc+ad)i.

Көбейтудің қасиеттері:

"z₁,z₂,z₃C (z₁×z₂)×z₃=z₁×(z₂×z₃) (ассоциативті),

$1C, "zC, z×1=1×z=z (1=1+0×i),

"zC, $ z^-1C, z×z^-1=z^-1×z=1 (z=a+bi және z^-1= 1/z=(a/(a²+b²))+((–b)/(a²+b²))i),

"z₁,z₂C, z₁×z₂=z₂×z₁ (коммутативті).

Қосу мен көбейту амалдары дистрибутивтілік заңымен байланысқан

.

Комплекс сандардың бөліндісі комплекс сан,

Комплекс санның n-дәрежелі түбірі

z=r(cos+isin)

; k=0,1,…,n-1.

Экспоненциальды түрде жазылуы мұндағы Эйлер формуласы

7. Муавр формуласы.Комплекс саннан түбірлер табу.

МУАВР ФОРМУЛАСЫ

Комплекс сандар алгебралық теңдеулерді шешу негізінде пайда болды.

Комплекс сан деп z=a+bi түріндегі санды айтамыз, мұндағы a және b –нақты сандар, ал i –жорамал бірлік, i²=–1. a комплекс санның нақты бөлігі, b –оның жорамал бөлігі. Re(z)= a, Im(z) = b

- комплекс сандар жиыны. Әрбір нақты сандар комплекс сан деп қабылдауға болады, себебі, үшін .

Комплекс сандар жиыны нақты сандар жиынының кеңеюі .

z=a+bi және =a–bi өзара түйіндес сандар деп аталады

z₁=a+bi және z₂=c+di cандары тең

Комплекс сандарының қосындысы комплекс сан болады.

Қосудың қасиеттері:

"z₁,z₂,z₃C үшін (z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃),

$0C, "zC , z+0=0+z=z ,

"zC, $ –zC, z+(–z)=(–z)+z=0 ,

"z₁,z₂C; z₁+z₂=z₂+z₁ .

Комплек сандардың көбейтіндісі комплекс сан.

z=z₁×z₂=(a+bi)×(c+di)=(ac–bd)+(bc+ad)i.

Көбейтудің қасиеттері:

"z₁,z₂,z₃C (z₁×z₂)×z₃=z₁×(z₂×z₃) (ассоциативті),

$1C, "zC, z×1=1×z=z (1=1+0×i),

"zC, $ z^-1C, z×z^-1=z^-1×z=1 (z=a+bi және z^-1= 1/z=(a/(a²+b²))+((–b)/(a²+b²))i),

"z₁,z₂C, z₁×z₂=z₂×z₁ (коммутативті).

Қосу мен көбейту амалдары дистрибутивтілік заңымен байланысқан

.

Комплекс сандардың бөліндісі комплекс сан,

Муавр формуласы

Комплекс саннан n^ші дәрежелі түбір табу және 1 ден табылған түбірлердің группасы.

Айталық, а=r(cos +isin ) комплекс саны берілсін. Онда жоғарыда қарастырылған көбейту амалының негізінде n- натурал саны үшін

яғни комплекс санды дәрежелегенде оның модулі сол дәрежеге шығарылады, ал аргументі сол дәреже көрсеткішіне көбейтіледі.

теңдігін пайдаланып , Муавр формуласын бүтін теріс сандар үшін де пайдалануға болады.

a=a+bi комплекс санын оң бүтін n дәрежеге шығару үшін Ньютонның биномын пайдаланған орынды, тек

ескерсек жеткілікті.

Муавр формуласының дербес түрін қарастырайық.

cos n

Теңдіктің оң жақ бөлігіне Ньютонның биномды формуласын қолданайық.

Мұндағы

теңдігінің сол және оң жақ бөліктерін салыстырсақ,

теңдіктерін аламыз.

Сонымен, ,

Мұндағы

ға әртүрлі мәндер беру арқылы түбірдің әртүрлі мәндерін аламыз.

Қортынды. Комплекс сандардан n - ші дәрежелі түбірді әрқашан табуға болады және оның әртүрлі n мәні болады.

Комплекс санның түбірін шығару.

Анықтама: z санының n-дәрежелі   түбірі деп    кез келген U комплекс саны аталады.  z комплекс санының барлық n-дәрежелі түбірін табу операциясы z санының n-дәрежелі түбірін есептеу деп аталады да нәтижесі   деп белгіленеді.  Теорема: кез келген   үшін z санынан n-дәрежелі түбірді есептеу,   әрқашанда мүмкін және n әр түрлі мәндерді қабылдайды.     болсын Іздеген түбірімізді   деп белгілейміз. Мұндағы   және   анықталуға тиіс мәндер. (11) формула бойынша  Тригонометриялық түрде берілген комплекс сандарын теңдігінен:  еркін бүтін сан. Осыдан:     (13) (12) формулада арифметикалық түбірі алынады. (13) формулада k=1,2,3,…,n-1 деп алуға болатынын көрсетейік. Шынында да, егер k<0 болса, онда (13) аргументіне   қсылғыш қосып келесіге келеміз:  Мұндағы   Ал аргументіне бүтін  ге еселік болатын санды қосқанда комплекс сан өзгермейді, сондықтан, k-ның теріс емес мәндерімен шектеулеуге болады. Енді   болчын; (13) өрнекте k-ны n-ға бөліп  ге еселік болатын бүтін қосылғышты анықтап аламыз. Шынында да, егер   болса, онда   болады. Мұнда  . Сонымен,   (14) k=0,1,2,..,n-1 және бұл мәндердің барлығы әртүрлі.