Задания для самостоятельной работы.
Найти неопределенные интегралы:
§2. Метод подстановки (замена переменной). Непосредственное интегрирование (внесение под знак дифференциала)
При
интегрировании подстановкой вводится
новая переменная
,
связанная с
с таким расчётом, чтобы получить один
из табличных интегралов. Найдя интеграл
по новой переменной, надо возвратиться
к первоначальной переменной.
Указать общее правило для выбора подстановки нельзя, т.к. этот выбор в каждом отдельном случае зависит от вида подынтегральной функции.
В простых
случаях при введении новой переменной
рекомендуется применять следующие
преобразования дифференциала
:
и т.п.,
Пример
1.
Найти
.
Решение
(I
способ): среди табличных интегралов
подходящего нет, но по формуле (3) табличных
интегралов можно вычислить интеграл
,
сходный с данным. Поэтому пробуем ввести
вспомогательную переменную
,
связанную с
зависимостью:
()
()
Подынтегральное
выражение
с помощью ()
и ()
преобразуется к виду
,
и получим:
=
()
=
(II
способ): данный интеграл можно вычислить
и другим способом – внесением под знак
дифференциала. В качестве вспомогательной
была выбрана следующая функция:
.
Находим её дифференциал:
.
Пример
2.
Найти
.
Решение (I способ):
(II
способ).
Заметим, что числитель
равен производной знаменателя
,
т.е.
Имеем:
Пример
3.
Найти
.
Решение (I способ):
(II способ):
Пример
4.
Найти
.
Решение (I способ):
(II способ):
Пример
5.
Найти
.
Решение (I способ):
(II способ):
Обратим внимание на вычисление некоторых интегралов, часто встречающихся на практике.
Пример
6.
Найти
.
Решение.
Пример
7.
Пример
8.
Найти
.
Решение.
Пример 9.
Пример 10.
Пример
11.
Теперь мы можем расширить таблицу интегралов.
Формула |
№ |
|
(6а) |
|
(7а) |
|
(8а) |
|
(9а) |
|
(10а) |
|
(11а)
(12a) |
|
(13а)
(14a) |
|
(15) |
|
(16) |
|
(17) |
|
(17а) |
Задания для самостоятельной работы
3. Интегрирование по частям
Интегрирование по частям производится по формуле:
,
где
и
– функции переменной интегрирования,
например,
.
Применяя
эту формулу, приходится разбивать
подынтегральное выражение на два
множителя:
и
;
первый из них (т.е.
)
затем дифференцируется, а второй (т.е.
)
интегрируется. В результате получается
упрощённое подынтегральное выражение.
Методом интегрирования по частям следует пользоваться в тех случаях, когда подынтегральная функция имеет вид:
1)
-
в этом случае за
принимают многочлен
2)
-
в этом случае за
принимают трансцендентную функцию.
Пример
1.
Найти
.
Решение.
Пример
2.
Найти
.
Решение.
находим:
Таким
образом,
Пример
3.
Найти
.
Решение.
вычислим
интеграл
,
еще раз применив формулу интегрирования
по частям, т.е.
имеем: 
Пример
4.
Пример
5. Найти
Решение.
Иногда повторное интегрирование по частям приводит заданный интеграл к самому себе. В этом случае может получиться или ничего не дающее тождество, или такое уравнение первой степени относительно искомого интеграла, из которого находится заданный интеграл. Проиллюстрируем это примером.
Пример
6.
Найти
Решение.
Для
нахождения последнего интеграла
интегрируем еще раз по частям:
т.е.
последний интеграл такой же, как данный; перенесем его в левую часть равенства:
откуда:
Существует много функций, которые не относятся к вышеназванным, но тоже интегрируются по частям.
Пример
7.
Этот
интеграл можно вычислить и другим
способом, используя подстановку
, ()
тогда:
из
():
Имеем:
Пример 8.
