4.2 Задания на самостоятельную подготовку

//***********************//

3. Частотные характеристики

Формально для получения частотной передаточной функции надо сделать в W(p) подстановку p =j , и тогда полученная W(j ) является комплексным выражением, которое можно представить в виде:

. (5.1)

Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции необходимо домножить числитель и знаменатель на сопряженную знаменателю величину, а затем провести разделение:

(5.2)

,

где

, (5.3)

- это амплитудно-частотная характеристика (АЧХ).

, (5.4)

- это фазово-частотная характеристика (ФЧХ).

Графики функций и называют соответственно вещественной и мнимой частотной характеристиками.

В практических расчетах удобно применять графики частотных характеристик, построенных в логарифмическом масштабе – логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) или (ЛАХ).

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) определяется следующим выражением:

(5.5)

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называется график зависимости , построенный в логарифмическом масштабе частот.

Единицей является децибел (дБ), а единицей логарифма частоты – декада. Декадой называют интервал частот, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду. Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произвольную точку, а не через точку = 0. Частоте = 0 соответствует бесконечно удаленная точка при .

Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том, что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических звеньев изображаются отрезками прямых.

Примеры

Пример 5.1

Записать аналитические выражения для всех частотных характеристик по известной передаточной функции объекта:

.

Произведем замену по (5.1) , p =j ,

,

затем умножим на сопряженные по (5.2):

= = = +

ВЧХ: =

МЧХ: =

Найдем АЧХ по формуле (5.3):

= .

Найдем АЧХ по формуле (5.4):

* =

Найдем ЛАХ по формуле (5.5):

.

4. Критерии устойчивости

Будем говорить, что линейная система устойчива, если ее реакция на любое ограниченное воздействие также ограничена, и неустойчива, если реакция на ограниченные воздействия неограниченна.

На практике для упрощения расчетов устойчивость САР определяют с помощью критериев устойчивости. Критерий устойчивости – это правило, позволяющее выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Рассматриваются коэффициенты характеристического уравнения или их функции. Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частотные. К алгебраическим критериям относят критерии Гурвица, Льенара-Шипара и Раусса, к частотным – Критерий Михайлова и Найквиста.

6.1 Критерий Гурвица

Критерий является алгебраическим критерием и применяется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы.

Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой системы:

(6.1)

Из коэффициентов характеристического уравнения составляют

матрицу по правилу:

1. По диагонали записываются коэффициенты от до .

2. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами.

3. В случае отсутствия индекса, а также, если он меньше 0 или больше n, на его место пишется 0.

Таким образом, матрица Гурвица приобретает следующий вид:

.

Критерий устойчивости формулируется так:

Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при были положительными все n диагональных определителей, получаемых из матрицы Гурвица.

Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий вид:

; ; .

Таким образом, критерий Гурвица позволяет судить об абсолютной устойчивости, но не дает возможности оценивать относительную устойчивость по корням характеристического уравнения.