5.Условие параллельности и перпендикулярности векторов

Векторы параллельны(коллинеарны)если:

Векторы перпендикулярны(ортогональ),если их скалярное произведение равно 0

6.Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида A x + B y + C = 0, где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

7.Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2), такие что x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 и z1 ≠ z2 то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

8.Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности

Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны

Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку. Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.

Пусть две неперпендикулярные прямые L1, L2 представляются уравнениями

у= а1 х+ b1

у= а2 х+ b2

Тогда угол между двумя прямыми найдется по формуле

tg(⍺)=

Если L1, L2 заданы общим уравнением А1 х+ В1 у+ С1= 0 и А2 х+ В2 у+ С2= 0

tg(⍺)=

Условия параллельности двух прямых: а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.   

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

    

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

 

б)Если уравнения прямых заданы в общем виде, то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.    

9.Уравнение плоскости. Частные уравнения плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

A x + B y + C z + D = 0,где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Частные случаи

1)Ax + By + Cz = 0 (D=0) - проходит через начало координат

2) By + Cz + D = 0 (C=0) - параллельна оси Ox;

3) Ax + Cz + D = 0 (C=0) - параллельна оси Oy;

4) Ax + By + D = 0 (C=0) - параллельна оси Oz;

5)Ax = 0 – плоскость совпадает с плоскостью Oyz.

6)Аz = 0 – плоскость совпадает с плоскостью Oxy;

7)Аy = 0 – плоскость совпадает с плоскостью Oxz;

10.Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности

Если заданы уравнения плоскостей A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

cos α =

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

 Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны:  || .Это условие выполняется, если:  .