3. Задания
Раздел 1. Арифметические основы работы пк
Вариант выполнения данного задания студент формирует индивидуально из их персональных данных (дата рождения и паспорт).
Задание 1
1. Напишите свой день и месяц рождения в цифровой форме (например, 28 марта соответствует 28.03.). Отделите в этом числе три старших разряда запятой (в рассмотренном примере 280,3). Обозначьте полученное число буквой А, тогда окончательно будем иметь первое число А=280,3.
2. Напишите 4 последние цифры номера своего паспорта (например, 7315). Отделите в этом числе два старших разряда запятой (в примере 73,15). Обозначьте это число буквой В, тогда окончательно получим второе число В=73,15.
3. Переведите оба полученных числа А и В в 2-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления. При переводе дробной части чисел получите число разрядов после запятой, равное числу до запятой. Осуществите проверку перевода обратным переводом.
4. С полученными числами в двоичной и восьмеричной системах счисления произвести все арифметические операции: А+В; А-В; А*В; А:В (произведите операцию вычитания в прямом, дополнительном, обратном кодах и модифицированном дополнительном коде).
5. Произвести проверку вычислений путем перевода исходных чисел и полученных результатов в десятичную систему счисления. При вычислениях сохранять 6 знаков после запятой в двоичной системе счисления и 4 знака – в восьмеричной.
Раздел 2. Логические основы работы пк
В этом разделе (задания 2,3) необходимо выбрать задачи для выполнения задания согласно таблице вариантов.
Задание 2
Применяя равносильные преобразования, упростить следующую формулу алгебры логики. Проверить правильность преобразований, составив таблицы истинности для исходной и конечной формул.
( x & y) (x y) & x;
(x ~ y) & (x y);
(x y) & (y x) (z x);
(x y (z y y x)) & (x (x (x x)) y;
(x & (x & x y & y) z) x (y & z) (y & z);
(x & (y z y z)) (y & x & y) x (y & (x & x));
(x y) & (y z) (x z);
(x & z) (x & z) (y & z) ( x & y & z);
(x & y & z) (x & y & z) (x & y & z) (x & y & z);
(x & y) ( x & y) ( x & y).
Примечание.
1) Конъюнкция высказываний а и в обозначается следующим образом: а в, а в, а & в;
2) Наиболее простое представление импликации в булевой алгебре х1 → х2 = х1 v х2;
3) Наиболее простое представление эквивалентности в булевой алгебре х1 ~ х2 = (х1 ٨ х2)٧( х1 ٨ х2)
Задание 3
Упростить следующую релейно-контактную схему:
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
4. Основное содержание
Раздел 1. Арифметические основы работы пк (задание 1)
Изучение систем счисления, арифметических и логических операций очень важно для понимания того, как происходит обработка данных в вычислительных машинах.
Любой компьютер может быть представлен как арифметическая машина, реализующая алгоритмы путем выполнения арифметических действий. Эти арифметические действия производятся над числами, представленными в принятой для них системе счисления, в заданных форматах и с использованием специальных машинных кодов.
Изучение различных систем счисления, которые используются в компьютерах, и арифметических операций в них очень важно для понимания того, каким образом производится обработка числовых данных в вычислительных машинах.
Системой счисления (СС) называется способ изображения чисел с помощью ограниченного набора символов, имеющих определенные количественные значения. Система счисления образует совокупность правил и приемов представления чисел с помощью набора знаков (цифр).
Все системы счисления можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные. Для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков, называемых алфавитом системы счисления.
Системы счисления, в которых значение знака не зависит от того места, которое он занимает в числе, называются непозиционными. Наиболее известным примером непозиционной системы счисления является римская. В этой системе используется 7 знаков (I, V, X, L, С, D, М), которые соответствуют следующим величинам:
I(1) V(5) X(10) L(50) C(100) D(500) M(IOOO)
Примеры: III(три), LIХ(пятьдесят девять), DLV(пятьсот пятьдесят пять).
Недостатками непозиционных систем, из-за которых они представляют лишь исторический интерес, являются сложный способ записи чисел и громоздкие правила выполнения арифметических операций, хотя по традиции римскими числами часто пользуются при нумерации глав в книгах, веков в истории и т. п.
Во всех вычислительных машинах применяется позиционная система счисления. В позиционных СС каждая цифра числа имеет определенный вес, зависящий от позиции цифры в последовательности, изображающей число. Позиция цифры называется ее разрядом. Число знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления.
В позиционной системе счисления любое число можно представить в виде:
(1)
где:
Основание системы счисления N показывает, во сколько раз “вес” i-го разряда больше (i – 1) разряда. Целая часть числа отделяется от дробной части точкой (запятой).
Пример 1. А10 = 37,25. В соответствии
с формулой (1) это число формируется из
цифр с весами разрядов
Теоретически наиболее экономичной системой счисления является система счисления с основанием е = 2,71828…, находящимися между числами 2 и 3.
Во всех современных ЭВМ для представления числовой информации используется двоичная система счисления. Это обусловлено:
более простой реализацией алгоритмов выполнения арифметических и логических операций;
более надежной физической реализацией основных функций, так как они имеют всего два состояния (0 и 1);
экономичностью аппаратурной реализации всех схем ЭВМ.
При N=2 число различных цифр, используемых для записи чисел, ограниченно множеством из двух цифр (нуль и единица). Кроме двоичной системы счисления широкое распространение получили и производные системы:
двоичная - {0,1};
десятичная, точнее двоично-десятичное представление десятичных чисел, - {0,1,2,…,9};
шестнадцатеричная - {0,1,…,9,A,B,C,D,E,F}. Здесь шестнадцатеричная цифра А обозначает число 10, В – число 11,…, F – число 15;
восьмеричная (от слова «восьмерик») - {0,1,2,3,4,5,6,7}. Она широко используется для специализированных ЭВМ.
Таблица 1 – Представление чисел в различных системах счисления
Двоичные числа А2 |
Восьмеричные числа А8 |
Десятичные числа А10 |
Шестнадцатеричные числа А16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
10 |
2 |
2 |
2 |
11 |
3 |
3 |
3 |
100 |
4 |
4 |
4 |
101 |
5 |
5 |
5 |
110 |
6 |
6 |
6 |
111 |
7 |
7 |
7 |
1000 |
10 |
8 |
8 |
1001 |
11 |
9 |
9 |
1010 |
12 |
10 |
A |
1011 |
13 |
11 |
B |
1100 |
14 |
12 |
C |
1101 |
15 |
13 |
D |
1110 |
16 |
14 |
E |
1111 |
17 |
15 |
F |
10000 |
20 |
16 |
10 |
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как 16 = 24 и 8 = 23. Они используются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков.
Представление чисел в различных системах счисления допускает однозначное преобразование их из одной системы счисления в другую. В ЭВМ перевод из одной системы счисления в другую осуществляется автоматически по специальным программам. Правила перевода целых и дробных чисел отличаются.