Арифметические операции в восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления

Хотя компьютер работает в 2-ой системе счисления, но часто с целью облегчения записи знаков на бумаге или ввода их с клавиатуры компьютера удобнее пользоваться 8-ми или 16-ми числами, тем более что, процедура взаимного перевода чисел из каждой из этих систем в 2-ую и обратно очень проста.

Перевод чисел из 10-ой системы счисления в 8-ую производится (по аналогии с 2-ой системой счисления) с помощью делений на 8 (для целой части) и умножений на 8 (для дробной части). Например, переведем число 58,32₍₁₀₎:

Таким образом, 58,32₍₁₀₎ = 72,243... ₍₈₎.

Проверим перевод (108) обратным переводом (810):

72,243₍₈₎=78¹+28⁰+28^-1+48^-2+38^-3=56+2+ =58 =58,3183593.

Оценим погрешность перевода: =58,32 – 58,3183593=0,0016407. Ошибка, как видно, имеется лишь в 3-ем знаке после запятой.

Заметим, что из конечной дроби в одной системе может получиться бесконечная дробь в другой.

Перевод чисел из 10-ой системы счисления в 16-ую производится аналогично. Переведём 152,86₍₁₀₎ в 16-ую систему счисления.

Результат перевода: 152,86₍₁₀₎=98,DC2₍₁₆₎. Осуществим проверку перевода (1016) обратным переводом (1610):

98,DC2₍₁₆₎=916¹+816⁰+1316^-1+1216^-2+216^-3=144+8+ =

=152 =152 =152,8598632₍₁₀₎.

Оценим погрешность перевода: =152,86₍₁₀₎ – 152,8598632₍₁₀₎=0,0001368₍₁₀₎.

Погрешность видим в 4-ом знаке после запятой, неплохая точность.

С практической точки зрения представляет интерес процедура взаимного преобразования 2-ых, 8-ых и 16-ых чисел. Для этого воспользуемся таблицей 2 чисел от 0 до 15 (в 10-ой системе счисления) и их соответствий в других системах счисления.

Таблица 2 – Соответствие чисел в различных системах счисления

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	A
1011	13	11	B
1100	14	12	C
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F

Из таблицы 2 видно, что для перевода 2-го числа в 8-ое необходимо разбить его влево и вправо от запятой (точки) на группы по 3 цифры (триады), причём крайние неполные триады можно дополнить нулями (это не изменяет содержимого числа). Затем каждую триаду заменить ее 8-ым эквивалентом. Например,

11101001,10001011₍₂₎ = 011 101 001, 100 010 110₍₂₎ = 351,426₍₈₎.

Перевод 2-го числа в 16-ое производится аналогично путем разбиения его влево и вправо от запятой (точки) на группы по 4 цифры (тетрады), причём крайние неполные тетрады можно дополнить нулями (это не изменяет

содержимого числа). Затем каждую тетраду заменить ее 16-ым эквивалентом.

Например,

11010110011,1101010111₍₂₎ = 0110 1011 0011, 1101 0101 1100₍₂₎ =

= 6B3,D5C₍₁₆₎.

Рассмотренные правила перевода (28 и 216) обладают свойством реверса (82 и 162),т.е. 8-ое (16-ое) число переводится в 2-ое путем замены каждой цифры числа соответствующей триадой (тетрадой) 2-ых цифр, благодаря тому, что числа 8=2³ и 16=2⁴ являются степенями (3 и 4) основания 2-ой системы счисления.

Рассмотрим еще один замечательный способ перевода чисел из 10-ой системы счисления в другую – метод вычитания степеней. В этом случае из числа последовательно вычитается максимально допустимая степень требуемого основания, умноженная на максимально возможный коэффициент, меньший основания. Далее такая же процедура производится многократно с остатками от максимальной степени до нулевой. Полученные коэффициенты, записанные в порядке их получения, являются значащими цифрами числа в новой системе. Продемонстрируем метод на примере перевода числа 114₍₁₀₎ в 2-ую систему счисления:

114 – 1 2⁶ = 114 – 64 = 50,

50 – 1 2⁵ = 50 – 32 = 18,

18 – 1 2⁴ = 18 – 16 = 2,

2 – 0 2³ = 2 – 0 = 2,

2 – 0 2² = 2 – 0 = 2,

2 – 1 2¹ = 2 – 2 = 0,

0 – 0 2⁰ = 0 – 1 =  1.

Запишем результат: 114₍₁₀₎ = 1110010₍₂₎.

Для закрепления метода вычитания степеней переведём это же число 114₍₁₀₎ в 8-ую систему счисления:

114 – 1 8² = 114 – 64 = 50,

50 – 6 8¹ = 50 – 48 = 2,

2 – 2 8⁰=2 – 2 = 0.

Получили результат: 114₍₁₀₎=162₍₈₎.