3.9 Циркуляция вектора в для магнитного поля в вакууме.

Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля введем циркуляцию вектора магнитной индукции. Цирку­ляцией вектора В по заданному замкнутому контуру называется интеграл

где d - вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода кон­тура. В_l=В cosa - составляющая вектора в направлении касательной к конту­ру, a - угол между векторами и d .

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора ) читается так: циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной ₀ на алгебраическую сумму токов, захватываемых этим контуром:

(3.9.1)

где n - число проводников с током, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается кон­туром. Положительным считается ток, направление которого связано с направ­лением обхода по контуру правилом правого винта, ток противоположного на правления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рис. 3.9.1,

I₁+2*I₂-0*I₃-I₄

Выражение (3.9.1) справедливо только для поля в вакууме^ 1*оскольку для пиля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора на примере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости черте­жа и направленного к нам (рис.3.9.2).

Рис.3.9.1 Рис.3.9.2

Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса R. В каж­дой точке этого контура вектор одинаков по модулю и направлен по каса­тельной к окружности. Следовательно, циркуляция вектора равна

Согласно выражению (3.9.1), получим В2 R = ₀1, откуда

Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора , получили вы­ражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше.

Сравнивая выражения для циркуляции векторов и , ви­дим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция век­тора электростатического поля всегда равна нулю, т.е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

Теорема о циркуляции вектора имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, т.к. позволяет находить маг­нитную индукцию поля без применения закона Био-Савара-Лапласа.

3.10 Магнитное поле соленоида и тороида.

Можно рассчитать, применяя теорему о циркуляции, индукцию магнитно­го поля внутри соленоида. Рассмотрим соленоид длиной l имеющий N витков, по которому течет ток (рис.3.10.1).

Д лину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т.е. рас­сматриваемый соленоид бесконечно длинный. Внутри соленоида поле являет­ся однородным, вне соленоида - неодно­родным и очень слабым.

Из расчетов приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):

Рис.3.10.1

Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида -кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора(рис.3.10.2).

Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне него поле отсутствует. Линии магнитной индукции в данном случае, как следует из соображений симметрии, есть окружности, центры которых расположены, но оси тороида. В качест­ве контура выберем одну такую окружность радиуса г.

Рис.3.10.2

Тогда, по теореме о циркуляции, В 2 r = _oN I, откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме)

(3.10.1)

где N - число витков тороида.

Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и В2 r= 0. Эго означает, что поле вне тороида отсутствует (что показывает и опыт).