Вопрос 4. Непрерывность функции в точке и на множестве.

Соответствие ƒ, к. каждому элементу х X сопоставляет один и только один элемент у  Y, называется функцией и записывается у=ƒ(х), х  X. Пусть функция у = f(x) определена в точке Хо и в нек. окрестности этой точки. Функция у = f(x) назнепрерывной

в точке хо, если сущ-т предел f в этой точке и он = значению функции в этой точке, т. е. -данное равенство означает выполнение 3х условий: fy=f(x) определена в точке и в ее окрестности; fy=f(x) имеет предел при ; предел f в . =значению f в этой ., т.е. данное равенство выполняется. Это означает, что при нахождении предела непрерывной ff(x)можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в ff(x) вместо аргумента xподставить его предельное значение . fу = f(x) назнепрерывной в интервале(а, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у = f(x) назнепрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке x=a непрерывна справа.

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах. Т.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных

функций есть функция непрерывная (для частного за исключением

тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю) Т2. Пусть функции непрерывна в точке , а функция у = f(u) непрерывна в точке . Тогда сложная ff( )) состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .Т3. Если функция у = f(х ) непрерывна и строго монотонна на [а; b] оси Ох, то обратная функция у = (х) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [с; d\ оси Оу.

Все основные элементарные функции( такая функция, которую

можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических

действий и суперпозиций) непрерывны при всех значениях х, для которых они определены. Как известно, элементарной основных элементарных функций. Поэтому из приведенных

выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна

в каждой точке, в которой она определена.

Свойства непрерывных на отрезке функции: 1)Вейерштрасса- Если функция непрерывна на отрезке,

то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.2) Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.3) (Больцано-Коши)-Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и принимает на его концах неравные значения f( а ) = А и f(b) = В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, назточками разрыва этой функции. Если x = — точка разрыва функции у = f(x), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции;1- Функция определена в окрестности точки хо, но не определена в самой точке хо.2- Функция определена в точке хо и ее окрестности, но не сущ-ет предела f(x) при . 3-Функция определена в точке и ее окрестности, сущ-ет ,но этот предел не равен значению функции в точке Хо. ( )

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва называется точкой разрыва 1-го рода fу = f(x), если в этой точке сущ-ют конечные

пределы f слева и справа (односторонние пределы), т. е При этом: а) если A1 = А2, то точка назточкой устранимого разрыва; б) если А1 , то точка назточкой конечного разрыва. Величину назскачком функции в точке разрыва первого рода. Точка разрыва назточкой разрыва второго рода функции у = f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.