Вопрос 9. Числовые ряды.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида – действительные/компленкные числа, наз. Членами рядами, общий член ряда. Сумма первых п членов ряда наз n-й частичнойсуммойряда и обозначается через Sn, т. е. Sn = Рассмотрим след. частичные суммы: = . , , ,. Если су-ет конечный предел последовательности частичных сумм ряда, то этот предел назсуммой рядаи говорят, что ряд сходится. = . Если не существует или = ) назрасходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

И сследуем сходимость ряда а + aq+ aq^2 + . . . + aq^n-1 к. назрядом геометрической прогрессии. Его частоиспольз.при исследовании рядов на сходимость.

Нахождение п-й частичной суммы Snи ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости.Первым из них, как правило, явл необходимый признаксходимости.Т- Если ряд сходится, то его общий член ипстремится к нулю, т е. След. (достаточное условие расходимости ряда). Еслиlimип 0 или этот предел не сущ-ет, то ряд расходится. Н еобходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возможности

с удить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость ирасходимость ряда во многих случаях можно установить с помощьютак называемых достаточных признаков. Рассмотрим некоторые из них для знакоположительныхрядов,т. е. рядов с неотрицательными членами (знакоотрицательный ряд переходит в знакоположительный путем умножения его на (—1), что, как известно, не влияет на сходимость ряда).1) Признаки сравнения рядов Сходимость или расходимость накоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим (≪эталонным≫) рядом, о которомизвестно, сходитсяонилинет. В основетакогосравнениялежатследующиетеоремы.

Теорема (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда (60 1) и (60 2) Если су-ет конечный, отличный от 0, предел lim = А (0 <А <оо), то ряды (60.1) и (60.2) сходятся или расходятся одновременно.Признак Даламбера В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом. Т: Пусть дан ряд (59.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел lim Тогда ряд сходится при l< 1 и расходится при l>1. Радикальный признак Коши Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для исследования сходимости знакоположительного ряда. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера, о чем говорят его формулировка и доказательство. Т: Пусть дан ряд (59.1) с "+" членами исущ-ет конечный или бесконечный предел Тогда ряд сходится при I <1 и расходится при I >1.Интегральный признак Коши.

Обобщенный гармонический ряд

Рассмотрим знакочередующийся ряд- ряд вида Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости(лейбница)- знакочередующийся ряд сходится, если: 1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е. > > >ип> . . . ; Общий член ряда стремится к нулю: limип= 0При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам 0<S<u1.

Знакочередующийся ряд явл частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд ^ ип, содержащий бесконечное множество "+" и бесконечное множество "-" членов, наззнакопеременным.

Д/ знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости. Т: Пусть дан знакопеременный ряд . Если сходится ряд | составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.