2. Описание численного метода

Рассмотрим квадратную матрицу n-ого порядка:

Собственные значения _i квадратной матрицы A есть действительные или комплексные числа, удовлетворяющие условию:

,

E – единичная матрица; - собственный вектор матрицы A, соответствующий некоторому собственному значению . Матрица называется характеристической матрицей матрицы A. Т.к. в матрице по главной диагонали стоят , а все остальные элементы равны нулю, то характеристическая матрица имеет вид:

Определитель этой матрицы называется характеристическим (вековым) определителем и равен:

В развернутом виде он является многочленом n-ой степени относительно , т.к. при вычислении этого определителя произведение элементов главной диагонали дает многочлен со старшим членом , т.е.

и называется характеристическим многочленом. Корни этого многочлена – собственные значения или характеристические числа матрицы A.

Числа называются коэффициентами характеристического многочлена.

Сущность метода Данилевского заключается в приведении векового определителя к так называемому нормальному виду Фробениуса

(1)

Если удастся записать вековой определитель в такой форме, то, разложени его по элементам первой строки будет иметь вид:

Таким образом, задача сводится к нахождению матрицы D в форме Фробениуса, подобной матрице A, так как собственные числа инвариантны относительно операции подобия.

Процедура последовательно преобразует строки исходной матрицы, начиная с последней, к виду (1). При этом преобразование осуществляется таким образом, чтобы полученные матрицы были подобны.

Опишем начало процесса.

Вначале необходимо строку исходной матрицы a

a_n,1 a_n,2 . . .a_n,n-1, a_n,n

привести к виду 0 0 . . . 1 0. Предполагая, что a_n,n-1не равно нулю, разделим все элементы (n-1)-го столбца матрицы а на a_n,n-1.

Тогда её n-я строка примет вид

a_n,1 a_n,2 . . . 1, a_n,n

Затем вычтем (n-1) –й столбец преобразованной матрицы, умноженный соответственно на числа a_n,1 a_n,2 . . . , a_n,n, из всех остальных её столбцов. В результате получим матрицу, последняя строка которой имеет желаемый вид

0 0 … 1 0.

Эти же преобразования произведём над матрицей m, полученной путём копирования единичной матрицы.

m_n-1,i = -a_n,i/a_n,n-1 при i≠n-1 и m_n-1,n-1 = 1/a_n,n-1 (2)

Используя правило умножения матриц, найдём матрицу b:

b_{i j}=a_{i j} - a_{i n-1}a_{n i} / a_{n n-1} при i=1,..,n; j ≠n-1;

b_{i n-1}=a_{i n-1} / a_{n n-1}, при i=1,..,n (3)

Последняя строка построенной матрицы B будет удовлетворять нашим условиям, но не будет подобна матрице a, поэтому проведем еще одно преобразование и получим матрицу c, подобную a и сохраняющую последнюю строку:

с_{i j}=b_{i j} при i=1,..,n-2

c_{n-1 j}=a_{n 1}b_{1 j}+a_{n 2}b_{2 j}+ . . . +a_{n n}b_{n j} при j=1,...,n (4)

Таким образом получили матрицу c, подобную a и с последней строкой как в матрице приведённого вида Фробениуса. Продолжая этот процесс, приняв за исходную матрицу матрицу с, преобразуем аналогично (n-2)-ю строку матрицы с и т.д.

Преобразования методом Данилевского нельзя продолжить, когда делитель в (2) равен нулю. Эти случаи в курсовой работе не рассматриваются, а программа выдаст предупреждающее сообщение и завершится.