6. Численный пример, рассчитанный вручную и в программе

Приведём к виду Фробениуса матрицу

1 2 3 4

А = 2 1 2 3

3 2 1 2

4 3 2 1

Рассчитаем элементы матрицы m:

m₃₁=-a₄₁/a₄₃=-4/2=-2

m₃₂=-a₄₂/a₄₃=-3/2=-1.5

m₃₃=1/a₄₃=1/2=0.5

m₃₄=-a₄₄/a₄₃=-1/2=-0.5

Остальные строки матрицы m соотвтетствуют строкам единичной матрицы.

Рассчитаем матрицу B как B=AM, так, для первого столбца имеем:

b₁₁=1+3(-2)=-5

b₂₁=2+2(-2)=-2

b₃₁=3+1(-2)=1

b₄₁=4+2(-2)=0

Преобразованные элементы третьего столбца получаются с помощью умножения исходных элементов на М₃₃=0.5. Например,

b₁₃=30.5=1.5

b₂₃=20.5=1

b₃₃=10.5=0.5

b₄₃=20.5=1

Заметим, что последняя строка матрицы B должна иметь вид 0 0 1 0

-5.0 -2.5 1.5 2.5

-2.0 -2.0 1.0 2.0

1.0 0.5 0.5 1.5

0 0 1.0 0

Перепишем первые 2 строки матрицы B в матрицу С. Рассчитаем третью стрку матрицы С:

с₃₁=4(-5)+3(-2)+21=-24

аналогично с₃₂ = -15 с₃₃ = 11 с₃₄ = 19

Итак, матриса С имеет вид:

-5.0 -2.5 1.5 2.5

-2.0 -2.0 1.0 2.0

-24 15 11 19

0 0 1.0 0

Этим заканчивается вычисление первого преобразования.

Далее матрица с берётся в качестве исходной (копируется в матрицу а) и процесс повторяется для второго столбца:

Матрица С:

-1.0 0.167 -0.333 -0.667

6.0 5.0 34.0 24.0

0 1.0 0 0

0 0 1.0 0

, а потом и для первого.

Матрица С:

4.0 40.0 56.0 20.0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

Итак, характеристический полином получается из первой строки матрисы с:

⁴ -4³-40²-56-20

7. Результаты работы программы

Рис. 5. Заголовок программы

Рис. 6. Результаты работы программы при N=4

Результаты аналитического и программного расчётов совпадают.

Заключение

Реализованная программа выполняет приведение исходной матрицы к нормальному виду Фробениуса, используя который легко отыскиваются собственные числа исходной матрицы одним из численных или точных (до 3-го порядка) методов.

В начале работы программы выдаются данные о назначении программы и разработчике. Данные считываются из файла. Предусмотрен выход из программы при достижении особых случаев и предотвращения деления на ноль (проверка если элемент матрицы <10^-6).

Результатом работы программы являются коэффициенты характеристического многочлена.

Исходный модуль программы имеет размер 3,375 кБ.

В результате работы над курсовым проектом были углублены знания по языку QBASIC, а также изучены различные численные методы.

Список используемой литературы

1. Калиткин Н.Н., Численные методы. М.: Наука - 1987 г. – 520 с.

2. Электронная энциклопедия Википедия

(доступ http://ru.wikipedia.org/wiki).

3. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ: М.: «Наука», 1987.

4. Справочная система Q-Basic (Help)

5. ГОСТ 19.701 – 90 Единая система программной документации.

6. Теняков Е.И. Правила оформления текстовой документации в ЮРГТУ(НПИ). Новочеркасск– ЮРГТУ(НПИ)2006 г.