Скорость

Быстрота движения точки характерезуется средней путевой скоростью

Данная скорость – величина скалярная.

Быстрота и направление движения точки характеризуется две следующие векторные величины. Пусть точка перемещается из положения А в положение В (рис.3). В момент времени t положение материальной точки характеризует радиус-вектор . За малый промежуток времени Δt точка прошла путь Δs до положения В и совершила элементарное перемещение . Вектором средней скорости называют отношение

Направление совпадает с направлением .

Мгновенной скоростью называют предел отношения приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени Δt, стремящемуся к нулю

т.е. есть первая производная радиуса-вектора по времени. В пределе при Δt→0, секущая АВ совпадает с касательной и, следовательно, мгновенная скорость направлена по касательной в каждой точке траектории.

По мере уменьшения Δt путь ∆s будет приближаться к значению модуля перемещения |Δr|, поэтому модуль мгновенной скорости будет равен

Из полученного выражения видно, что . Путь s, пройденный за время Δt, найдем, интегрируя выражение в пределах от t до

В случае равномерного движения ( )

Ускорение

Физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и по направлению, называется ускорением. Пусть материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории, за время Δt переместилась из положения А в положение В. При этом скорость точки изменилась от до _.

И зменение скорости найдем, если перенесем вектор из точки В в точку А (на рис.4 вектор АЕ ).

Средним ускорением называется отношение изменения скорости (на рис. 4 вектор се) к промежутку времени Δt

Мгновенным ускорением (или просто ускорением) в момент времени t называют предел среднего ускорения при Δt , стремящемся к нулю.

Ускорение есть векторная величина, равная первой производной от скорости по времени.

Изменение скорости представляет собой изменение скорости как по величине , так и по направлению . Вектор (вектор СЕ на рис. 4) разложим на две составляющие и . Из рис. 4 видно, что , равное отрезку СД , есть изменение скорости по величине (по модулю) за время Δt, поскольку АД = | |. Вторая составляющая ( отрезок CF) характеризует изменение скорости по направлению. Изменение скорости по величине называют тангенциальным ускорением .

Величина тангенциальной составляющей ускорения

т.е. равна первой производной от модуля скорости по времени.

Изменение скорости по направлению называют нормальным ускорением a_n.

Из подобия треугольников АОВ и ЕАД следует, что .

Если точки А и В расположены близко друг к другу, то можно считать, что

радиус кривизны дуги равен r что хорда АВ мало отличается от дуги и поэтому АВ .

Видно, что в пределе при Δt, стремящимся к нулю, v₁ → v и тогда значение нормальной составляющей ускорения будет выражаться

где - радиус кривизны траектории. единичный вектор нормали. Полное ускорение , будет выражаться

,

а его величина определяться по формуле

Итак, тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине, а нормальное ускорение- изменение скорости по направлению.

Характер движения тел определяется значениями и a_n , и его можно классифицировать по видам:

Рис. 5

1. а_τ = 0; a_n = 0 -прямолинейное равномерное движение;

2. а_τ = а = const; a_n = 0 – прямолинейное равнопеременное движение, при котором

Если t₁=0; t₂=t; v₁ = v_0; v₂ = v, то получим

и

Интегрируя выражение ds = v dt в пределах отрезка времени от 0 до t, найдем длину пути s, пройденного телом за время t.

3. а_τ = f (t); a_n =0 - прямолинейное движение с переменным ускорением;

4. а_τ = 0; а_n = const - равномерное движение по окружности;

5. а_τ = 0; a_n ≠o - равномерное криволинейное движение;

6. а_τ = const; a_n ≠o - равнопеременное криволинейное движение;

7. а_τ=f(t); a_n ≠o -криволинейное движение с переменным ускорением.