Импульс. Закон сохранения импульса

Векторная величина p, равная произведению массы m на скорость v, называется импульсом материальной точки.

p = mv .

Из выражения II закона Ньютона следует, что

.

Интегрирование этого выражения в пределах от t₁ до t₂ дает приращение импульса за промежуток времени Δt = t₂ – t₁

если то .

Таким образом, зная изменение импульса со временем, можно установить силу, действующую на тело.

И наоборот, зная импульс силы F Δt, можно определить изменение импульса Δp и изменение скорости тела. Размерность импульса

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек (систему тел). Введем определение внутренних и внешних сил. Внутренние силы – силы, с которыми на данное тело воздействуют другие тела системы. Внешние силы – силы, обусловленные воздействием на тело системы со стороны тел, не принадлежащих системе. В случае, если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой.

Импульсом системы называется векторная сумма импульсов тел системы.

p = p₁ + p₂ + …+ p_n =

Точка, положение которой в пространстве задается радиусом-вектором r_c

,

называется центром инерции системы (здесь m_i и r_i - масса и радиус-вектор i – го тела системы, m - суммарная масса системы).Отметим, что центр инерции системы совпадает с центром тяжести системы. Скорость центра инерции v_c

.

Учитывая, что m _iv_i = p_i , а , можно записать p= mv_c .

Таким образом импульс системы равен произведению массы m на скорость v_c центра инерции системы.

Пусть система состоит из трех тел (рис.6). В системе действуют: F₁₂ , F₂₃ и т.д. – внутренние силы; F₁ , F₂ , F₃ - равнодействующие внешних сил, приложенных к каждому из тел. Для каждого из тел системы можно записать

Из закона Ньютона следует, что F₁₂ = - F₂₁, F₁₃ =-F₃₁, F₂₃ = -F₃₂. Поэтому суммируя левые и правые части этих уравнений, получим:

ЛЕКЦИЯ № 3 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ. РАБОТА. МОЩНОСТЬ.

Если внешние силы отсутствуют (или их равнодействующая равна нулю), то , а p = const. Следовательно, для замкнутой системы импульс есть постоянная величина. Полученный результат легко обобщить на систему, состоящую из произвольного n числа тел

(i = 1, 2, 3, …. n)

Суммируя эти равенства для всех n тел системы и учитывая, что F_ik= -F_ki , получим , т.е., производная импульса по времени равна сумме внешних сил. Для замкнутой системы сумма внешних сил равна нулю и для такой системы выполняется закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы материальных точек тел остается постоянным.

.

Если внешние силы действуют, но их равнодействующая равна нулю, то импульс также остается постоянным. Если равнодействующая внешних сил не равна нулю, но ее проекция на некоторое направление, например, x, равна нулю, то для составляющей импульса на данное направление выполняется

_срх

Из закона сохранения импульса вытекает, что центр инерции замкнутой системы тел либо остается неподвижным, либо движется равномерно и прямолинейно.

Энергия — это универсальная мера различных форм движения и взаимодействия материи. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную... Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел.

Работа силы — это количественная характеристика процесса обмена энергией между взаимодействующими телами.

При прямолинейном движении тела под действием постоянной силы F, которая составляет некоторый угол с направлением перемещения, работа этой силы равна:

(1) (см.рис.1)

Рис.1 Рис.2

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому этой формулой пользоваться нельзя. Однако на элементарном (беско­нечно малом) перемещении можно ввести скалярную величину — элементарную работу силы :

(2), (см.рис.2) где .

Тогда работа силы на участке траектории от т.1 до т.2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути:

, (3)

Если зависимость от s представлена графически, то работа А определяется площадью заштрихованной фигуры (см.рис.2)

Консервативной (потенциальной) называют силу, работа которой определяется только начальным и конечным положениями тела и не зави­сит от формы траектории. Консервативными силами являются силы тяготения, упругости. В электростатике центральной является сила Кулона. Неконсервативные силы, например, сила трения.

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности.

Мощность N представляет собой работу, совершенную в единицу времени и численно равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы:

(4)

причем

Единица работы — джоуль (Дж) - работа совершаемая силой 1 Н на пути 1м: 1Дж=1Н

Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1с совершается работа 1Дж: 1Вт=1Дж/с.

Кинетическая и потенциальная энергия механической системы

Механическая энергия - (5)

Кинетическая энергия механической системы (Т) — это энергия механического движения этой системы.

Сила, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом приращение кинетической энергии частицы на элементарном перемещении равно элементарной работе на том же перемещении:

(6) .

Данное выражение принято называть теоремой о кинетической энергии.

Тело массой т, движущееся со скоростью , обладает кинетической энергией:

(7)

Учитывая, что , можно записать (8)

Кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела. Свойства кинетической энергии: 1) является функцией состояния системы; 2) всегда положительна; 3) неодинакова в разных инерциальных системах отсчета.

Потенциальная энергия П — механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам. Примеры потенциальной энергии:

1) Потенциальная энергия тела массой т,поднятого на высоту Н над нулевым потенциальным уровнем в поле силы тяготения: (9)

2) Потенциальная энергия упруго деформированной пружины(х – абсолютная деформация): П = (10)

Единица измерения механической энергии(кинетической энергии, потенциальной энергии) – Джоуль(Дж).

Закон сохранения энергии.

Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и взаимодействия Е=Т+П— равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Обычно, если м.т. или частица в каждой точке пространства подвержена действию со стороны других м.т. или частиц, то принято говорить, что рассматриваемая м.т. или частица находится в иоле сил. В случае силового поля действие силы распределено но всему пространству. Рассмотрим такое поле сил, действие которого зависит только от положения м.т в пространстве. Такое поле можно описать с помощью некоторой скалярной функции , зависящей в силу выше сказанного только от координаты. В школьном курсе и сегодня Вы уже имели дело с характеристиками, значения которых определяются координатами в пространстве. Речь идет о потенциальных или консервативных силах. Поле, связанное с такими силами принято называть потенциальным, а функция - потенциал такого поля.

В каждой точке потенциального поля сила, действующая на м.т. может быть определена соотношением:

(11)

где const определятся свойствами м.т., взаимодействующей с полем.

производная по направлению – это отношение приращения функции к модулю перемещения , умноженному на единичный вектор в направлении :

(12)

Производная скалярной функции по направлению - векторная величина. Наиболее важной является производная функции по направлению её наиболее быстрого изменения. Вектор, определенный как производная по направлению наибольшего возрастания скалярной функции tp(r), называется градиентом функции. Градиент функции обозначается греческой буквой «набла» - и определятся формулой:

(13)

Подставляя последовательно (13) в (11), а затем в (6) и интегрируя полученное выражение вдоль некоторой траектории от т.1 до т.2, находим

(14)

Из (14) следует : (15)

Т.о. величина (16) для частицы в потенциальном поле внешних сил сохраняется. Учитывая, что - потенциальная энергия м.т. в поле , записываем

Е = П + Т (17)-

- характеризует полную механическую энергию м.т.

ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ-

Это поле таково, что силы в каждой точке его направлены по радиус - вектору зависят от расстояния до некоторого центра. Используя понятия «работа» и «градиент», можно установить взаимосвязь между потенциальной энергией м.т, в этом поле и действующей на м.т. силой:

(18)

Закон сохранения энергии.

Закон сохранения энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем: E=T+П=const (19)

Это — фундаментальный закон природы. Он является следствием однородности времени — инвариантности физических законов относительно выбора начала отсчета времени.

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной. Могут лишь происходить превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах, так что полная энергия остается неизменной.

Диссипативныв системы — системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения. полная механическая энергия системы не сохраняется. Однако при "исчезновении" механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда на исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии — сущность неуничтожимости материи и ее движения.

ЛЕКЦИЯ № 4 ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

.

ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИКИ.

Момент инерции.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки на квадрат расстояния до этой оси :

(1)

Моментом инерции системы м.т.(дискретного тела) относительно оси вращения называется скалярная физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

(2)

В случае непрерывного распределения массы эта сумма сводится к интегралу:

(3)

В выражении (3) интегрирование осуществляется в конечном итоге по объёму системы(тела) ( плотность)

Главный момент инерции - момент инерции относительно главной оси вращения – оси вращения, проходящей через центр масс системы(тела).

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объёму.

Моменты инерции однородных тел массой , имеющих правильную

геометрическую форму и равномерное распределение массы по объёму:

ТЕЛО	ПОЛОЖЕНИЕ ОСИ	МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
Полый тонкостенный цилиндр радиуса	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиуса	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Шар радиусом	Ось проходит через центр шара

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельной данной оси определяется теоремой Штейнера:

Момент инерции тела I относительно оси z равен сумме его момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела С, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

(4)

Например, момент инерции прямого тонкого стержня длиной относительно оси, которая перпендикулярна стержню и проходит через его конец ( эта ось отстоит от главной оси на ):

+ = (5)

Таким образом, величина момента инерции зависит от выбора оси вращения.

Кинетическая энергия вращения 1

Абсолютно твердое тело вращается около неподвижной оси z , проходящей через него. Все точки движутся с одинаковой угловой скоростью . Кинетическая энергия тела:

(6)

где момент инерции тела относительно оси z.

Если тело совершает одновременно вращательное и поступательное движение, то его полная кинетическая энергия равна сумму кинетических энергий:

(7)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательного и вращательного движений видно, что мерой инертности тела при вращательном движении служит момент инерции тела.

Момент силы

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса – вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу :

(8)

Рис.1

Модуль момента силы: , где - плечо силы – кратчайшее расстояние между линей действия силы и т.О; - угол между и .

Моментом силы относительно неподвижной оси z – скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z.

Значение момента силы не зависит от выбора положения точки О на оси.

Момент силы позволяет характеризовать вращательный эффект, создаваемый( не создаваемый) силой относительно рассматриваемой точки(оси).

Основное уравнение динамики вращательного движения

твердого тела.

При повороте тела под действием силы на бесконечно малый угол точка приложения силы А проходит путь и работа силы равна:

(9)

Работа вращения тела идет на увеличение кинетической энергии этого тела:

(10)

Тогда или откуда уравнение динамики вращательного движения твердого тела :

(11)

Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, то имеет место векторное соотношение :

(12)

- главный момент инерции.

Момент импульса и закон его сохранения .

Моментом импульса (количество движения) материальной точки относительно неподвижной точки О называется векторная физическая величина, определяемая соотношением:

(13)

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная физическая величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса не зависит от расположения точки О на оси z.

Рис.2

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса со скоростью , перпендикулярной радиусу. Численно момент импульса отдельной частицы равен и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта( совпадает с направлением вектора угловой скорости ).

Момент импульса твердого тела относительно оси - сумма моментов импульса отдельных частиц:

(14)

Продифференцируем по времени: (15)

Для главной оси выражение (15) можно представить и в векторной форме: (16).

Выражение (16) - ёще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела.

В замкнутой системе момент внешних сил .

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется ,т.е. не изменяется со временем.

(17)

Это - фундаментальный закон природы Он является следствием изотропности пространства: инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

При равномерном вращении твердого тела относительно некоторой оси z закон сохранения момента импульса можно записать в виде: .

Сопоставим основные величины и соотношения для поступательного и вращательного движений.

Поступательное движение Вращательное движение

Масса m Момент инерции

Перемещение Угловое перемещение

Скорость Угловая скорость

Ускорение Угловое ускорение

Сила Момент силы

Импульс Момент импульса

Основное уравнение Основное уравнение

динамики динамики

Работа Работа

Кинетическая энергия Кинетическая энергия