11. Формула Ньютона-Лейбница

Ф-ция f (x) непрер. на замкнутом интерв. [a, b]. Если F (x) - первообр. ф-ции f (x) на[a, b], то

12. Замена переменных и интегрирование по частям определенного интеграла.

Замена перем. в опред. интеграле. Опред. интеграл   по перем. x  преобр. в опред. интеграл относительно перем. t с помощью подстановки x = g (t): Новые пределы интегрир. по переменной t определяются выражениями где g ^-1 - обратная ф-ция к g, т.е. t = g ^-1(x).  Интегрирование по частям для опред. интеграла. В этом случае формула интегрир. по частям имеет вид: где   означ. разность знач. произведения ф-ций uv при x = b и x = a. 

13. Вычисление площадей. Коэффициент Джинни.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 0x, 2мя верт. прямыми x = a, x = b и графиком ф-ции f (x), определяется по формуле

F (x) и G (x) - первообр. ф-ций f (x) и g (x), соответств. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интерв.[a, b], то площадь области, ограниченной 2мя кривыми y = f (x), y = g (x) и верт. линиями x = a, x = b определ. формулой

14. Вычисление объема тела вращения.

15. Несобственные интегралы. Определ. интеграл   наз. несобственным, если выполняется, по крайней мере, 1 из следующих условий: 1.Предел a или b (или оба) бесконечны; 2.f (x) имеет 1 или неск. т. разрыва внутри интервала [a,b].

Бесконечные пределы интегрирования. -f (x) явл. непрер. в интерв. [a, ∞). Несобств. интеграл опред. через предел:

-f (x) непрерывна в интерв. (−∞, b]. Тогда несобств. интеграл определяется как

Если эти пределы сущ. и конечны, то несобственные интегралы сходятся, иначе - расходятся. -f (x) явл. непрер. на мн-ве действ. чисел. Тогда Если для некот. действ. числа c оба интегр. в правой части сходятся, то интегр.  сходится; иначе он расходится.

Теоремы сравнения

f (x) и g (x) явл. непрер. ф-циями в интерв. [a, ∞). Предположим, для x в интерв. [a, ∞). 1.Если   сходится, то и сход.; 2.Если  расх., то и   расх.; 3.Если сход., то и сходится. Тогда интегр. явл. абсолютно сход.

Интеграл от разрывной ф-ции

f (x) непрер. в интерв. [a,b), но имеет разрыв в т. x = b. Тогда Аналогично, если f (x) непрер. в интерв. (a,b] и имеет разрыв при x=a. Тогда

Если приведенные пределы сущ. и конечны, то соотв. несобственные интегр. сходятся, иначе расх.. 

f (x) непрер. для действ. x в интерв. [a,b], за искл. некот. т.  . Тогда

и несобств. интегр.   сход., если оба интегр. в 1ой ч. верхнего равенства сходятся.Иначе несобств. интеграл расх.. 

Ряды.

1 Числовые ряды. Геометрическая прогрессия.

Пусть положит. числа - члены некот. бесконечной числ. послед.. Тогда выраж. вида наз. числовым рядом. Здесь  – общ. чл. ряда, с помощью кот. ряд записывается в виде Зная общий чл. ряда, можно записать ряд в форме 

Геометр. прогр. с 1ым чл. а и знам. q.

Частичная сумма ряда  или  .

1) если  , то  , при  и, Значит, если  ряд сход. и его сумма .

2) если  , то  , при  и тогда  ,т.е. не сущ. и ряд расх.

3) если   то ряд имеет вид Тогда , т.е. ряд расх..

4) если  , то имеем ряд

Тогда Тогда   предела не имеет и ряд расх.

=> сход., когда модуль знамен. прогр.|q| меньше 1.

2 . Степенные ряды. Разложение в ряды Тейлора и Маклорена.  Степенным рядом - ф-циональный ряд вида (a₀, a₁, a₂, …,a_n, и x₀ - const.) Т. x₀ наз. центром ст. ряда. Рассмотрим ст. ряды с ц. 0, т.е. Такой ряд всегда сход. при x=0 и область сход. есть непустое мн-во.

Для ст. ряда возможны 3 случая: 1) ряд сходится в единств. т. x=0; 2) ряд сходится при всех знач.x; 3) сущ.такое R>0, что ряд сходится при всех знач. x, для кот.   и расх. при x, для кот.    Интервал (-R,R), где число R определено, наз. интервалом сход. ряда, а R – радиусом сход. ряда.

Понятие радиуса сход. распростр. на все 3 случая в теореме: в случае 1 R=0, а в случае 2 

Радиус сход. ст. ряда чаще всего опред. с помощью призн. сход. Даламбера. Пусть все коэфф. ряда отличны от 0 и сущ. предел  Тогда радиус сход. находится по формуле

В силу призн.Даламбера ряд сход., если меньше 1, и расх., если больше 1. Т.е.ряд сход.для всех x таких, что  и расход. при    Т.е. число   явл. радиусом сход. ряда . Если f (x) имеет непрер производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в ст. ряд по формуле Тейлора: где R_n − остат. чл. в форме Лагранжа определяется выраж.

Если приведенное разложение сход. в некот. интервале x, т.е. , то оно наз. рядом Тейлора - разложением f (x) в т.a. Если a = 0, то разлож. наз. рядом Маклорена:

Дифференциальные уравнения Определение. К омплексные числа, числа вида х+iy, где х и у - действит. числа, а i  - мнимая единица (число, квадр. кот. = -1); х -действит. часть, а у - мнимая часть К. ч. z = х +iy (обознач. х =Rez, у=Imz). Действит. числа - частный случай К. ч. (при у = 0); К. ч., не явл. действительными (у ¹ 0), наз. мнимыми числами; при х = 0 К. ч. Называют чисто мнимым. К. ч. z = х+iy и z = х -iy - комплексно-сопряж.. Арифм. действия над К. ч. производятся по обычным правилам действий над многочл. с учётом условия i²= -1. Геометрически К. ч. х +iy изобр. точкой плоскости, имеющей прямоугольные координаты х и у. Если полярные коорд. этой т. обознач. через r и j:, то соотв. К. ч. можно предст. в виде: r (cos j + i sin j) (тригонометр./полярная форма К.ч.);

2. Тригонометрическая и экспоненциальная формы комплексного числа. Для всякого комплексного числа z=x+iy справедливо z=|z|(cosφ+isinφ).

|z|=√(z^2+y^2), a φ удовлетв. усл.: cosφ=x/√(x^2+y^2), sinφ=y/√(x^2+y^2), φ∈[0,2π). Рав. наз. тригоном. ф. компл. числа z.  

Символом e^(iφ)  обознач. комп. ч. cosφ+i*sinφ. С помощью этого обознач. всякое комп.ч. z=|z|(cosφ+isinφ) м.б. предст. в показательной форме z=|z|e^(iφ).