1.5. Производная сложной функции

Рассмотрим сложную функцию y = y(u(x))

Теорема 4. Если функции y = y(u), u = u(x) дифференцируемы (т.е. существуют производные y'_u, u'_x), тогда сложная функция y = y(u(x)) дифференцируема и y'_x = y'_u u'_x.

Доказательство

Если аргумент x получит приращение Δx, то функция u получит приращение Δu = u(x + Δx) − u(x), а функция y получит приращение Δy = y(u + Δu) − y(u). Но тогда, воспользовавшись свойствами предела функции, получаем

Теорема доказана.

1.6. Производная обратной функции

Рассмотрим функцию y = f(x), для которой существует обратная функция x = g(y).

Теорема 5. Если обратная функция x = g(y) дифференцируема и g'(y) ≠ 0, то функцияy=f(x) дифференцируема, и 

Доказательство

Если аргумент x получит приращение Δx, то функция f получит приращение Δy = f(x + Δx) − f(x). С другой стороны, для обратной функции g приращения Δx, Δy связаны следующим образом:Δx=g(y + Δy) − g(y).

Тогда получаем

28. Понятие и геометрический смысл дифференциала

Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

29.

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,

f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const и d2x = d3x = ... = dnx = 0.

В этом случае справедлива формула

dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.

30

Таблица производных[править | править вики-текст]

Производные степенных функций	Производные тригонометрических функций	Производные обратных тригонометрических функций

31. Понятие первообразной, основные свойства

§ 2. Основное свойство первообразной функции

Первообрáзной^[1] или примити́вной функцией данной функции  называют такую  , производная которой (на всей области определения) равна  , то есть  . Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Теорема. Если функция   есть первообразная для функции   на промежутке X, то при любой постоянной С функция   также является первообразной для функции   на промежутке X. Любая первообразная функции  на промежутке X может быть записана в виде 

2. Какую бы постоянную в формуле (1) ни подставить вместо С, получится первообразная для функции  Выражение   называют общим видом первообразных для функции 

3. Какую бы первообразную для функции   ни взять, ее можно получить из формулы (1) при соответствующем подборе постоянной С.

4. Геометрически основное свойство первообразных можно интерпретировать так: графики всех первообразных данной функции   получаются из любого из них путем параллельного переноса вдоль оси   (рис. 230).

5. Таблица первообразных для некоторых функций: