23. Определение функции. Способы задания функции.Классификация элементарных функций.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее однозначную парную связь элементов одного множества с элементами другого множества.

Другими словами, функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества, называемого областью задания (или областью определения) функции, ставится в соответствие некоторый элемент другого множества, называемого областью значений.

Способы задания функции. Примеры.

Аналитический способ задания функции.

Самый универсальный и могучий способ. Функция, заданная аналитически, это функция, которая заданаформулами. Собственно, это и есть всё объяснение.) Знакомые всем (хочется верить!)) функции, например:y = 2x, или y = x² и т.д. и т.п. заданы именно аналитически.

Табличный способ задания функции.

Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. В этой таблице каждому иксу соответствует (ставится в соответствие) какое-то значение игрека. В первой строчке - значения аргумента. Во второй строчке - соответствующие им значения функции, например:

Таблица 1.

x	- 3	- 1	0	2	3	4
y	5	2	- 4	- 1	6	5

Графический способ задания функции.

Словесное описание функции.

Да-да! Функцию можно вполне однозначно задать словами. Великий и могучий русский язык на многое способен!) Скажем, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Вот так! Правило установлено, функция задана.

Элементарные функции.

Функции, которые могут быть получены из основных элементарных функций посредством арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и образования сложных функций, называются элементарными функциями.

Примером может являться функция  .

Очень удобно классификацию элементарных функций представить в виде таблицы.

Элементарные функции

• Трансцендентные

• Алгебраические

  • Иррациональные

  • Рациональные

    • Целые рациональные

    • Дробные рациональные

Итак, по приведенной классификации элементарные функции подразделяются наалгебраические и трансцендентные.

Алгебраические функции.

Алгебраическими называют функции, составленные из букв и цифр, соединенных знаками действий сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень и извлечение корня.

Другими словами: алгебраическими называют элементарные функции, которые могут быть получены из двух основных функций f(x)=x и f(x)=1 при помощи любого числа последовательно выполненных алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень, извлечение корня) и умножения на числовые коэффициенты.

Например, функция   является алгебраической.

Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные.

Рациональные функции.

Рациональными называются алгебраические функции, которые не содержат аргумент под знаком радикала (корня).

Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции (многочлены) идробные рациональные (отношение многочленов).

Пример целой рациональной функции:  .

Пример дробно-рациональной функции:  .

ПРИМЕЧАНИЕ:

Рациональные функции могут содержать и иррациональные коэффициенты (главное, чтобы под знаком радикала не было аргумента функции). Например,   - целая рациональная функция, а не иррациональная.

Иррациональные функции.

Иррациональными называются алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).

Примером может являться функция  .

Трансцендентные функции.

Трансцендентными называют элементарные функции, которые не являются алгебраическими. (То есть, они образованы при помощи возведения в иррациональную степень, логарифмирования, с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических операций).

К примеру,   - трансце