- Распределение Пуассона

 

где  - вероятность появления события с частотой  - среднее число появления события в одинаковых независимых испытаниях;  - дисперсия;  - вес или частота значения признака х.

В реальных статистических исследованиях социально-экономических процессов и явлений чаще всего закон распределения варьирующего признака в вариационных рядах неизвестен. В таких случаях для характеристики рядов распределений рассчитывают начальные и центральные моментыи связанные с ними показатели.

Начальные моментыk-го порядка определяются по формулам

 

При  имеем начальный момент  - среднее значение признака; при  имеем начальный момент второго порядка  - средний квадрат значений признака и т.д.

Центральные моменты  -го порядка определяют по формулам

 

При  имеем центральный момент второго порядка  - дисперсию варьирующего признака.

На практике чаще всего исчисляют следующие основные характеристики распределения:

- среднее значение варианты (математическое ожидание);

- дисперсия;

 

- коэффициент асимметрии;

 

- эксцесс и др.,

 

которые достаточно точно выявляют форму распределения и весовое содержание варьирующего признака в нём.

В математике доказывается теорема о том, что знание бесконечного числа моментов распределения эквивалентно полному знанию о распределении вариационного ряда.

 

Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Если функция распределения F_x (x) непрерывна, то случайная величина x называется непрерывной случайной величиной.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p_x(x), которая связана с функцией распределения F_x (x) формулами

 и  .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины  .

Плотность распределения

Пусть имеется непрерывная случайная величина   с функцией распределения   , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от   до :

,

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать   к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

.      (5.4.1)

Введем обозначение:

.           (5.4.2)

Функция   - производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины  .

Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция   буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»). Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 5.4.1).

Рис. 5.4.1.

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только длянепрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину   с плотностью распределения   и элементарный участок  , примыкающий к точке   (рис. 5.4.2). Вероятность попадания случайной величины   на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна  . Величина   называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок  (рис. 5.4.2).

Рис. 5.4.2.

Выразим вероятность попадания величины   на отрезок от   до   (рис 5.4.3) через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т.е. интегралу:

       (5.4.3)

*) Так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, то можно рассматривать здесь отрезок  , не включая в него левый конец, т.е. отбрасывая знак равенства  в  .

Геометрически вероятность попадания величины   на участок   равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок (рис. 5.4.3.).

Рис. 5.4.3.

Формула (5.4.2.) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению

,

откуда по формуле (5.4.3) имеем:

.          (5.4.4)

Геометрически   есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки   (рис. 5.4.4).

Рис. 5.4.4.

Укажем основные свойства плотности распределения.

1.  Плотность распределения есть неотрицательная функция:

.

Это свойство непосредственно вытекает  из того, что функция распределения   есть неубывающая функция.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

.

Это следует из формулы (5.4.4) и из того, что  .

Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что:

1) вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2) полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Выясним размерность основных характеристик случайной величины – функции распределения и плотности распределения. Функция распределения  , как всякая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения  , как видно из формулы (5.4.1), обратна размерности случайной величины.

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением

а) Найти коэффициент а.

б) Найти плотность распределения  .

в) Найти вероятность попадания величины   на участок от 0,25 до 0,5.

Решение. а) Так как функция распределения величины   непрерывна, то при  , откуда  .

б) Плотность распределения величины   выражается формулой

в) По формуле (5.3.1) имеем:

.

Пример 2. Случайная величина   подчинена закону распределения с плотностью:

 при 

 при   или  .

а) Найти коэффициент а.

б) Построить график плотности распределения  .

в) Найти функцию распределения   и построить её график.

г) Найти вероятность попадания величины   на участок от 0 до  .

Решение. а) Для определения коэффициента а воспользуемся свойством плотности распределения:

,

откуда  .

б) График плотности   представлен на рис. 5.4.5.

Рис. 5.4.5.

в) По формуле (5.4.4) получаем выражение функции распределения:

График функции   изображен на рис. 5.4.6.

Рис. 5.4.6.

г) По формуле (5.3.1) имеем:

.

Тот же результат, но несколько более сложным путем, можно получить по формуле (5.4.3).

Пример 3. Плотность распределения случайной величины   задана формулой:

.

а) Построить график плотности  .

б) Найти вероятность того, что величина  попадет на участок (-1, +1).

Решение. а) График плотности дан на рис. 5.4.7.

Рис. 5.4.7.

б) По формуле (5.4.3) имеем:

.

8. Числовые характеристики случайных величин. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана). Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.

   Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана)

Среди числовых характеристик случайных величин нужно, прежде всего, отметить те, которые характеризуют положение случайной величины на числовой оси, т.е. указывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины.

Среднее значение случайной величины есть некоторое число, являющееся как бы её «представителем» и заменяющее её при грубо ориентировочных расчетах. Когда мы говорим: «среднее время работы лампы равно 100 часам» или «средняя точка попадания смещена относительно цели на 2 м вправо», мы этим указываем определенную числовую характеристику случайной величины, описывающую её местоположение на числовой оси, т.е. «характеристику положения».

Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль играет математическое ожиданиеслучайной величины, которое иногда называют просто средним значением случайной величины.

Рассмотрим дискретную случайную величину  , имеющую возможные значения   с вероятностями  . Нам требуется охарактеризовать каким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели естественно воспользоваться так называемым «средним взвешенным» из значений  , причем каждое значение   при осреднении должно учитываться с «весом», пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом, мы вычислим среднее случайной величины  , которое мы обозначим  :

или, учитывая, что  ,

.             (5.6.1)

Это среднее взвешенное значение и называется математическим ожиданием случайной величины. Таким образом, мы ввели в рассмотрении одно из важнейших понятий теории вероятностей – понятие математического ожидания.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Заметим, что в вышеприведенной формулировке определение математического ожидания справедливо, строго говоря, только для дискретных случайных величин; ниже будет дано обобщение этого понятия на случай непрерывных величин.

Для того, чтобы сделать понятие математического ожидания более наглядным, обратимся к механической интерпретации распределения дискретной случайной величины. Пусть на оси абсцисс расположены точки с абсциссами  , в которых сосредоточены соответственно массы  , причем  . Тогда, очевидно, математическое ожидание  , определяемое формулой (5.6.1), есть не что иное, как абсцисса центра тяжести данной системы материальных точек.

Математическое ожидание случайной величины   связано своеобразной зависимостью со средним арифметическим наблюденных значений случайной величины при большом числе опытов. Эта зависимость того же типа, как зависимость между частотой и вероятностью, а именно: при большом числе опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины приближается (сходится по вероятности) к еематематическому ожиданию. Из наличия связи между частотой и вероятностью можно вывести как следствие наличие подобной же связи между средним арифметическим и математическим ожидание.

Действительно, рассмотрим дискретную случайную величину  , характеризуемую рядом распределения:

где  .

Пусть производится   независимых опытов, в каждом из которых величина   принимает определенное значение. Предположим, что значение   появилось   раз, значение   появилось   раз, вообще значение  появилось   раз. Очевидно,

Вычислим среднее арифметическое наблюденных значений величины  , которое, в отличие от математического ожидания   мы обозначим   :

Но   есть не что иное, как частота (или статистическая вероятность) события  ; эту частоту можно обозначить  . Тогда

,

 т.е. среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на частоты этих значений.

При увеличении числа опытов   частоты   будут приближаться (сходиться по вероятности) к соответствующим вероятностям  . Следовательно, и среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины   при увеличении числа опытов будет приближаться (сходится по вероятности) к её математическому ожиданию  .

Сформулированная выше связь между средним арифметическим и математическим ожиданием составляет содержание одной из форм закона больших чисел. Строгое доказательство этого закона будет дано нами в главе 13.

Мы уже знаем, что все формы закона больших чисел констатируют факт устойчивости некоторых средних при большом числе опытов. Здесь речь идет об устойчивости среднего арифметического из ряда наблюдений одной и той же величины. При небольшом числе опытов среднее арифметическое их результатов случайно; при достаточном увеличении числа опытов оно становится «почти не случайным» и, стабилизируясь, приближается к постоянной величине – математическому ожиданию.

Свойство устойчивости средних при большом числе опытов легко проверить экспериментально. Например, взвешивая какое-либо тело в лаборатории на точных весах, мы в результате взвешивания получаем каждый раз новое значение; чтобы уменьшить ошибку наблюдения, мы взвешиваем тело несколько раз и пользуемся средним арифметическим полученных значений. Легко убедиться, что при дальнейшем увеличении числа опытов (взвешиваний) среднее арифметическое реагирует на это увеличение все меньше и меньше и при достаточно большом числе опытов практически перестает меняться.

Формула (5.6.1) для математического ожидания соответствует случаю дискретной случайной величины. Для непрерывной величины   математическое ожидание, естественно, выражается уже не суммой, а интегралом:

,             (5.6.2)

где   - плотность распределения величины  .

Формула (5.6.2) получается из формулы (5.6.1), если в ней заменить отдельные значения   непрерывно изменяющимся параметром х, соответствующие вероятности   - элементом вероятности  , конечную сумму – интегралом. В дальнейшем мы часто будем пользоваться таким способом распространения формул, выведенных для прерывных величин, на случай непрерывных величин.

В механической интерпретации математическое ожидание непрерывной случайной величины сохраняет тот же смысл – абсцисса центра тяжести в случае, когда масса распределена по оси абсцисс непрерывно, с плотностью  . Эта интерпретация часто позволяет найти математическое ожидание без вычисления интеграла (5.6.2), из простых механических соображений.

Выше мы ввели обозначение   для математического ожидания величины  . В ряде случаев, когда величина   входит в формулы как определенное число, её удобнее обозначать одной буквой. В этих случаях мы будем обозначать математическое ожидание величины   через  :

.

Обозначения   и   для математического ожидания будут в дальнейшем применяться параллельно в зависимости от удобства той или иной записи формул. Условимся также в случае надобности сокращать слова «математическое ожидание» буквами м.о.

Следует заметить, что важнейшая характеристика положения – математическое ожидание – существует не для всех случайных величин. Можно составить примеры таких случайных величин, для которых математического ожидания не существует, так как соответствующая сумма или интеграл расходятся.

Рассмотрим, например, прерывную случайную величину   с рядом распределения:

Нетрудно убедится в том, что  , т.е. ряд распределения имеет смысл; однако сумма   в данном случае расходится и, следовательно, математического ожидания величины   не существует. Однако для практики такие случаи существенного интереса не представляют. Обычно случайные величины, с которыми мы имеем дело, имеют ограниченную область возможных значений и, безусловно, обладают математическим ожиданием.

Выше мы дали формулы (5.6.1) и (5.6.2), выражающие математическое ожидание соответственно для прерывной инепрерывной случайной величины  .

Если величина   принадлежит к величинам смешанного типа, то её математическое ожидание выражается формулой вида:

,          (5.6.3)

где сумма распространяется на все точки  , в которых функция распределения терпит разрыв, а интеграл – на все участки, на которых функция распределения непрерывна.

Кроме важнейшей из характеристик положения – математического ожидания, - на практике иногда применяются и другие характеристики положения, в частности, мода и медиана случайной величины.

Модой случайной величины называется её наиболее вероятное значение. Термин «наиболее вероятное значение», строго говоря, применим только к прерывным величинам; для непрерывной величины модой является то значение, в котором плотность вероятности максимальна. Условимся обозначать моду буквой  . На рис. 5.6.1 и 5.6.2 показана мода соответственно для прерывной и непрерывной случайных величин.

Рис. 5.6.1

Рис. 5.6.2.

Если многоугольник распределения (кривая распределения) имеет более одного максимума, распределение называется «полимодальным» (рис. 5.6.3 и 5.6.4).

Рис. 5.6.3.

Рис. 5.6.4.

Иногда встречаются распределения, обладающие посередине не максимумом, а минимумом (рис. 5.6.5 и 5.6.6). Такие распределения называют «антимодальными». Примером антимодального распределения может служить распределение, полученное в примере 5, n° 5.1.

Рис. 5.6.5.

Рис. 5.6.6.

В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, когда распределение является симметричным и модальным (т.е. имеет моду) и существует математическое ожидание, то оно совпадает с модой и центром симметрии распределения.

Часто применяется еще одна характеристика положения – так называемая медиана случайной величины. Этой характеристикой пользуются обычно только для непрерывных случайных величин, хотя формально можно её определить и для прерывной величины.

Медианой случайной величины называется такое её значение  , для которого

,

т.е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше  . Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (рис. 5.6.7).

Рис. 5.6.7.

В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.

Дисперсия. Дисперсией случайной величины  Х  называется число:

         (8)

Дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной величины Х  относительно ее среднего значения М ( Х ). Размерность дисперсии равна размерности случайной величины в квадрате. Исходя из определений дисперсии (8) и математического ожидания (5) для дискретной случайной величины и (6) для непрерывной случайной величины получим аналогичные выражения для дисперсии:

     (9)

Здесь m = М ( Х ).

Свойства дисперсии:

              (10)