Последовательность выполнения расчетно-графической работы «Расчет плоской статически неопределимой рамы методом перемещений»

1. Определить степень кинематической неопределимости заданной рамы.

2. Выбрать основную систему метода перемещений. Показать эквивалентную систему с дополнительно наложенными связями.

3. С оставить систему канонических уравнений для определения неизвестных перемещений от заданной внешней нагрузки.

4. В основной системе построить единичные эпюры изгибающих моментов М _i от действия сил Z _i =1 и грузовую эпюру М _p от действия заданной внешней нагрузки.

5. Вычислить коэффициенты и свободные члены канонических уравнений статическим способом.

6. Проверить полученные коэффициенты, построив суммарную единичную эпюру изгибающих моментов и вычислив сумму всех единичных перемещений ( универсальная проверка ).

7. Проверить полученные свободные члены, вычислив сумму свободных членов и построив суммарную единичную эпюру (постолбцовая проверка).

8. Решить систему канонических уравнений методом Гаусса и найти значения неизвестных сил Z_i . Провести проверку найденного решения, подставив найденные значения в канонические уравнения.

9. Построить окончательную эпюру изгибающих моментов по формуле:

М_ок = М_i·Z _i + М_Р

10. Проверить правильность построения окончательной эпюры:

Сделать статическую проверку вырезанных узлов.

11. Построить окончательную эпюру поперечных сил, используя окончательную эпюру изгибающих моментов и условия равновесия каждого вырезанного из каркаса стержня.

11. Построить окончательную эпюру продольных сил, используя окончательную эпюру поперечных сил и условие равновесия вырезанных узлов рамы.

12. Проверить статическое равновесие рамы в целом под действием заданной внешней нагрузки и опорных реакций.

Пример расчета плоской кинематически неопределимой рамы методом перемещений. Заданная расчетная схема Исходные данные

L₁ = 4.0 м

L₂ = 6.0 м

H₁ = 4.0 м

H₂ = 6.0 м

Р = 8 т

q = 3 т/м

I₁ : I₂ =2:3

E = const

1. Определение степени кинематической неопределимости заданной рамы.

Степень кинематической неопределимости находится по формуле:

n_к = n_у + n_л = 1+1 = 2,

n_у = 1, так как «жесткий» узел - только узел D

(все остальные узлы либо опорные либо шарнирные)

n_л = 3D – 2Ш - С_оп = 3·5 – 2·4 – 7 = 1

(для полной шарнирной схемы)

Таким образом, система дважды кинематически неопределима.

2. Выбор основной и эквивалентной систем метода перемещений.

Назначение неизвестных перемещений Z₁ и Z₂.

Так как система дважды кинематически неопределима, то в основную систему

необходимо ввести две связи. Причем одна должна препятствовать угловому

перемещению – это заделка, введенная в «жесткий» узел, а другая должна

препятствовать линейному смещению – это дополнительный опорный стержень

приложенный в направлении возможного линейного перемещения.

3. Система канонических уравнений будет иметь следующий вид:

r₁₁Z₁ + r₁₂Z₂ + R_1Р = 0,

r₂₁Z₁ + r₂₂Z₂ + R_2Р = 0,

4. Построение единичных и грузовой эпюр изгибающих моментов.

Для построения единичных и грузовой эпюр используется таблица 2.

Для построения эпюр моментов необходимо первоначально определить

Погонные жесткости для каждого участка рамы. Для этого пронумеруем каждый стержень рамы.

i = EI / L – погонная жесткость

так как I₁ : I₂ =2:3, следовательно

I₁ = 2I , I₂ = 3I

i₁ = EI₁ / H₂ = 2EI / 6 = EI / 3

i₂ = EI₂ / L₁ = 3EI / 4

i₃ = EI₁ / H₁ = 2EI / 4 = EI / 2

i₄ = EI₁ / (4H₂ / 3)=2EI / 8 = EI / 4

i₅ = EI₂ / L₂ = 3EI / 6 = EI / 2

r₁₁

r₂₁

3i₂ = 2.25 EI

3i₃ = 1.5 EI

4i₄ = EI

2i₄ = 0.5 EI

3i₅ = 1.5 EI

3i₃ / 4 = 0.375 EI

6i₄ / 8= 0.1875EI

5. Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

(статический способ).

Σ М_D = 0,

R_1Р = 7

- R_2P – qH / 2 + qH =0

R_2P = - qH / 2 + qH = qH / 2

R_2P = 12

6. Построение суммарной единичной эпюры изгибающих моментов.

М_S = М₁ + М₂

r_{i j} = r₁₁ + r₂₁ + r₁₂ + r₂₂ = 6.25 EI - 0.1875 EI - 0.1875 EI + 0.140625 EI =

= 6.015625EI,

r_ss =  ∫ М_s·М_s·dx / EI = · ·3i₂·L₁· ·3i₂ + · ·3i₅·L₂· ·3i₅ + · · ·H₁· ·

+ · ·( + 4·i₄· i₄ + ) =2.25EI + 1.5EI + 0.84375EI+1.421875EI

= 6.015625EI,

следовательно выполнена универсальная проверка, т.е. единичные коэффициенты найдены верно.

7. Аналогично выполняется проверка грузовых коэффициентов.

8. Решаем систему канонических уравнений:

6,25EI ·Z₁ - 0,1875EI ·Z₂ + 7 = 0,

-0,1875EI ·Z₁ + 0,140625EI ·Z₂ + 12 = 0.

Домножив первое уравнение на 16, а второй уравнение на величину 64, получим следующую систему уравнений:

100EI ·Z₁ - 3EI ·Z₂ + 112= 0,

-12EI ·Z₁ + 9EI ·Z₂ + 768 = 0,

100EI -3EI

D₀ = = 100EI · 9EI - 3EI ·12EI = 864EI²

-12EI 9EI

-112 -3EI

D₁ = = -112 · 9EI - 3 · 768EI = - 3312EI

-768 9EI

100EI -112

D₂ = = -100EI ·768 - 112·12EI = -75456EI

-12EI -768

Z₁ = D₁ / D₀ = - 3312EI / 864EI² = - 3,833/EI (т)

Z₂ = D₂ / D₀ = -75456EI / 864EI² = - 90,444/EI (т)

Делаем проверку найденного решения, т.е. подставляем полученные значения Z₁ и Z₂ в канонические уравнения:

100EI·(-3,833/EI) -3EI·(-90,444/EI)+112 = -383,33+271,332+112 = 0,002  0

-12EI·(-3,833/EI) + 9EI·(-90,444/EI) + 768 = 45,996 – 813,996 + 768 = 0

т.о. решение найдено верно.

9. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов

М_ок = М₁·Z₁ + М₂·Z₂ + М_Р

Проведем суммирование полученных эпюр по характерным точкам

10. Проверяем правильность построения эпюры М_ок

а) Статическая проверка:

14,75

8,625

D

28,1667

4,7916

 М_D = 0, 8,625 – 28,167 + 14,75 + 4,7916 = 0,

28,1667 –28,1666 = - 0,0001 ≈ 0

 М_B = 0, 0 = 0

Статическая проверка выполнена, следовательно, эпюра М_ок построена верно.

11. Построение эпюры поперечных сил на основании построенной эпюры изгибающих моментов М_ок

Т.к. на участке АВ отсутствуют изгибающие

моменты , то эпюра поперечных сил на этом

участке будет очерчена нулевой линий.



2,1563

V_D

V_В

D

В

8,625

М_В = 0,

V_С·4 - 8,625 =0,

V_С = 2,1563 (т)

 М_D = 0,

2,1563

V_В·4 - 8,625 =0,

V_В = 2,1563 (т)

 Y = 0, V_В - V_D = 0, 0 = 0

 М_D = 0,

-H_С·4 +28,1667 = 0,

H_С = 7,0417 (т)

 М_С = 0,

-H_D·4 +28,1667 = 0,

H_D = 7,0417 (т)

 X = 0, H_D - H_С =0, 0 = 0

 М_D = 0,

- 4,7916 - 34,875 - q·8·4 + Н_Е·8 = 0,

Н_Е = 16,9583 (т)

 М_E = 0,

- 4,7916 - 34,875 + q·8·4 - Н_D·8 = 0,

Н_D = 7,0417 (т)

 Х = 0, -Н_E - Н_D + q·8 = 0, 0 = 0

 М_D = 0,

V_F·6 -14,75 + P·3 =0,

V_F = -1,5417 (т) – значит направление реакции выбрано неверно, поэтому меняем его на противоположное.

 М_F = 0,

V_D·6 -14,75 - P·3 =0,

V_D = 6,162 (т)

 Y = 0, V_D + V_F + P = 0, 0 = 0

Эпюра поперечных сил будет иметь следующий вид:

12. Построение эпюры продольных (нормальных) сил N , на основании построенной эпюры поперечных сил:

 Х = 0, N_ВС = 0,

 Y = 0, -N_АВ + 2,1563 = 0

N_ВС = 2,1563 (т)

 Y = 0,

N_CD = 0

P

В

 Y = 0,

- N_DE – 2,1563 – 6,4583 = 0

N_СD = -8,6146 (т)- направлено в противоположную сторону.

 X = 0,

- 7,0147 + 7,0147 = 0, 0 = 0

Эпюра продольных сил N будет иметь следующий вид:

13. Согласно построенным эпюрам M, N, Q определяем опорные реакции рамы и составляем условие статического равновесия рамы в целом.

Н_C = 7.0417

F

B

D

C

Р

K

2м

q

V_F = 1.5417

Н_A = 0

A

E

Н_E = 16.9583

V_A = 2.1563

M_E = 34.875

V_E = 8.6146

 М _K = 0,

-V_А·2 + H_А·6 - q ·8·4 - V_E·2 + H_E·8 - M_E + Р ·5 – V_F·8 + H_C·4 = 0,

-2.1563·2 + 0·6 -3·8·4 – 8.6146·2 + 16.9583·8 – 34.875 + 8·5 – 1.5417·8 + 7.0417·4 = 0,

0 = 0, следовательно, рама рассчитана верно, эпюры M, N, Q построены правильно.