Негізгі интегралдар кестесі:

dx = + C, n ≠ -1

x| + C

Көпмүшеліктерді қалдықпен бөлу. Безу теоремасы

А: кез келген f(x) және g(x)(g(x) ≠0) көпмүшеліктері үшін f(x) көпмүшелігі g(x) көпмүшелігіне r(x) қалдықпен бөлінсе, онда f(x) = g(x)q(x)+r(x) теңдігі орындалады, мұндаr(x) көпмүшелігі 0-ге тең немесе дәрежесі g(x)-тің дәрежесінен кіші көпмүшелік. Мұндағы f(x)–бөлінгіш, g(x) – бөлгіш, q(x)- толымсыз бөлінді, r(x) – қалдық д.а.

А: егер Р(c) = 0 теңдігі орындалса, онда с саны P(x)=0 теңдеуінің түбірі д.а.

Безу теоремасы: P(x) көпмүшелігінен х – а екімүшелігіне бөлгендегі қалдық P(а) – ға тең. (яғни х = а болғанда P(а)= r). дәлелдеу. х – а екімүшелігінің дәрежесі 1 – ге тең. Онда қалдықтың дәрежесі 1 – ден кіші, яғни қалдық қандай да бір сан болады. P(x) = (x – a)Q(x)+r. Қалдық r – дің мәнін табу үшін x = a болғандағы P(a)-ны табамыз: P(a) = (a – a)Q(a) + r, яғни P(a) = r

Ұғым ойдың формасы ретінде төмендегідей үш міндетті шешеді:

1. Біз мүдделі жиын объектісін басқа объектілерден ерекшелейміз;

2. Біз мүдделі жиын объектілерін жалпылаймыз;

3. Осы жиын объектісінің мәнін көрсетеді.

Ендеше бұдан, ұғым — нәрсенің азды-көпті мәнді белгілерін бейнелейтін ойдың формасы деген қорытынды шығаруға болады.

Ауызекі сөйлеу тілінде ұғымдар сөзбен, сөз тіркестерімен беріледі. Мысалы, «мемлекет», «қылмыс құралы», «жол күзетінің қызметкері» және т.с.с.

Бір ұғымның өзі әр тілде әртүрлі формада, кейде бір тілдің өзінде неше түрлі болып беріледі. Бір нәрсе туралы адамдардың ұғымы бірдей болғанмен, олардың берілуі әртүрлі болатынын көрсетеді. Ұғым дегеніміз — бір тілден екінші бір тілге аударғанда сақталатын жалпы нәрсе, ол оны білдіретін сөздердің мағынасын құрайды. Сондықтан ұғымның сөзбен берілетініне қарамастан, ұғым мен сөзді теңестіруге болмайды. Мұны кез келген тілде кездесетін омоним және синоним сөздер арқылы көрсетуге болады.

Талдау — бұл нәрселерді ойша бөліктерге жіктеу және олардың белгілерін айқындап көрсету . Мысалы, «апельсин» ұғымын алсақ, біз ойша оның пішіні — дөңгелек, бүдірлеу, түсі — қызғылт сары, ішкі құрылымы — кішкене бөліктерге бөлінген, дәмі — тәтті және т.б. деп жіктейміз.

Жинақтау — бұл нәрсенің талдау нәтижесінде алынған белгілерін, бөліктерін ойша біртұтас бүтінге біріктіру.

Салыстыру — нәрсенің мәнді, мәнсіз белгілеріне қарай ұқсастықтары мен ерекшеліктерін анықтау.

Абстракциялау — нәрсенің белгілі бір белгілерін ойша баса көрсету және оны басқалардан дерексіздеу.

Жалпылау — бірыңғай нәрселерді ойша кейбір кластарға біріктіру.

АКСИОМА (грекше — қабылданған ереже) - математикалық теорияларды дедукциялық (бастапқы түсініктерден жаңа қорытындылар жасауға мүмкіндік беретін әдіс) әдістермен құру кезінде ешқандай дәлелдеусіз қабылданатын ақиқат бастапқы түсінік. Сонымен, аксиомалар математикалық ғьлыми теорияның негізгі түсініктерінтұжырымдайды. Теорияның негізіне қабылданған аксиомалар жүйесі осы теорияның аксиоматикасы деп аталады. Математикадағы аксиоматикалық әдістің негізін ежелгі грек геометрлері қалаған. XIX ғасырға дейінгі кезеңдегі аксиоматикалық әдістің озық үлгісі біздің заманымыздан бұрынғы III ғасырда жазылған ежелгі грек ғалымыЕвклидтің (б.з.б. 330 -275) "Негіздер" ("Бастамалар") деген ғылыми еңбегі болды. Онда: "Нүкте дегеніміз ешқандай бөлігі жоқ нәрсе. Сызық дегеніміз — енсіз ұзындық, Сызықтың ұшы (соңы) - нүкте. Тікбұрыштардың барлығы тең" делінген аксиомалар тұжырымдалған. Ежелгі грек философы әрі ғалымы Аристотель (б.з.б. 381 — 322) "Тұжырымдарын дәлелдейтін ғылымдардың бәрі де аксиомалар қолданады... Аксиомаларда жалпылаудың ең жоғарғы сатысы бар және олар тиянақты барлыққорытындылардың бастамасы да" деген

Математикалық индукция арқылы дәлелдеу

Математикалық индукция тәсілі ұсынылған пікірдің не тұжырымның ақиқаттығын дәлелдеуге көмектесетін әдіс.

Әрбір натурал n үшін n=k тұжырымы айтылған болсын. Әрине кейбір n-дер үшін n=k орындылап, кейбір n-дер үшін n=k орындалмауы да мүмкін. Бірақ, егер:

1) n=1 орындалса;

2) кез келген натурал k үшін n=k орындалғанда n=k+1 де орындалса, онда n=k тұжырымы кез келген натурал k үшін орындалады. Расында да n=k орындалатын k сандарынан құрылған жиынды А әрпімен белгілесек, онда 1 А және k А, k+1 А шарттары орындалады.

Мысалы: математикалық индукция бойынша мына тұжырымды дәлелдеңдер.

Тақ натурал сандар үшін 1+3+5+7+...+(2n-1) = n²

Дәлелдеуі.

1) n=1, 1=1²

2) n=k

n=k+1 үшін орынды болатындығын дәлелдейиіз, яғни n=k болғанда S=n²

S(k+1)=(k+1)² деп дәлелдейміз.

S(k)=n²=k²

S(k+1)=1+3+5+7+…+(2k-1)+(2k+1)=S(k)+(2k+1)=k²+2k+1=(k+1)²

Сонымен мына формуламыз барлық натурал сандар үшін да орынды.

Ойлаудың бұл формасы біз үшін ғылымда, сот тәжірибесінде немесе күнделікті өмірде ақиқат жағдайларды дәлелдеу немесе жалған пікірлерді жоққа шығару құралы ретінде қызмет етеді. Ойлау өз функциясын жүзеге асыру кезінде белгілі бір заңдылықтарды табады және ол әртүрлі ережелерге бағынады. Сондай-ақ, кез келген шындық аясында олардың өзіндік заңдары болады, сол сияқты логикада да негізгі формальды-логикалық: тепе-теңдік, қайшылық емес, үшіншісі жоқ, жеткілікті негізгі заңдары және негізгі емес: екі есе терістеу зандары және т.б. бар.

Ойлаудың қайшылықсыздық қасиетіне кейде қайшылық заңы немесе қайшылыққа тыйым заңы аталатын қайшылықсыздық заңы сәйкес келеді. Бұл заңның атауының өзі, алдымен, қайшылық дегеннің не екенін ұғыну керектігіне итереді.

Біз бір ғана нәрсеге қандай да бір белгі таңылған, не сол мезетте терістелген немесе бір пайымдау бір мезгілде ақиқат не жалған болып танылғанда пайда болған қайшылықпен кездескенбіз. Пайымдаулар арасындағы қатынастар туралы айта келе, біз егер пайымдаулар бір мезетте ақиқат не бір мезетте жалған бола алмаса, онда олардың қайшылық қатынаста болатынын айқындағанбыз. Бұдан қайшылық формуласы:

А ˄ ˥ А шығады.

Логикалық тепе-тендік заңы ойлаудың бірізділігінің негізі болып табылады.

Пікірдің аяғына дейін әрбір ой тұрақты болып қалуы тиіс.

Сіздер мен біз ұғым және пайымдау деген ойдың екі түрін білеміз. Осы түрдің әрқайсысына жеке-жеке қатысты бұл талаптың өзінше қалай түсіндірілетінін қарастырайық.

Ұғымның екі сипаты бар: мазмұн мен көлем. Сондықтан, тепе-теңдік заңы ұғымға қатысты, осы пікірде пайдаланылатын ұғым өзінің мазмұны мен көлемі бойынша тұрақты болуын талап етеді.

ХХ ғасырдың классикалық логикасында тепе-теңдік заңы, әдетте қысқа формуламен беріледі А→А немесеА≡А

Ойлау барысында тек сол бір нәрсе туралы өзара бірін-бірі жоққа шығаратын пайымдаулар жиі пайда болады. Ойлаудың анықтылығы, әдетте балама деп аталатын өзара бірін-бірі жоққа шығаратын мүмкіндіктер жиынынан әрбір сәтте біреуін ғана таңдап, оны ақиқат деп санауды немесе ақиқаттыққа тексеруді талап етеді. Адамның әрбір жеке қылығына қарай оларды:

а) адамгершілігі бар; ә) адамгершілігі жоқ; б) адамгершілікке немқұрайлы деп айтуға болады.

Ойдың анықтылығы бізден осы баламалардың бірін таңдауды және талқылау бойы соны ғана ұстануды талап етеді. Әрі бұл әрекет бір қатынаста адамгершілікті, басқасында - адамгершілікке немқұрайлы (немесе адамгершілігі жоқ) деп есептеуге тыйым салады.

Дәстүрлі логика ойдың бұл анықтылығын екі пайымдау арасындағы оның мұраттанған ең соңғы жағдайын таңдауға әкеледі, қайшылық қатынастағы осындай ойдың анықтылығы қасиетіне үшіншісі жоқ заңы сәйкес келеді; ХХ ғасырдың классикалық логикасында үшіншісі жоқ заңын мынадай формада беру қабылданған:А ˅ ˥ А

Жеткілікті негіз заңына байланысты қажет және жеткілікті шарт ұғымы енгізіледі. Шартты пайымдауды қарастырайық. Егер А, онда В, немесе А → В. Егер, бұл шартты пайымдау ақиқат десек, онда А — В ақиқаттығының жеткілікті шарты, ал В — А ақиқаттығының қажетті шарты.

№32.