Формула Пуассона:n- велико, порядка сотен и тысяч.

p-оченьмало: ;k – число появлений события

Распределение Пуассона можно представить в виде таблицы:

X	0	1	…	k
p			…

16. Нормальное (Гаусса) распределение вероятностей СВ.

Непрерывная случ. величина распред. по нормальному з-ну

с параметрами a, (обозначаем ), если её плотность распр-я

17. Функция Лапласа и её свойства.

Св-во1: Функция Лапласа ЧЁТНАЯ,т.е.

Св-во1: Интеграл Лапласа НЕЧЁТНЫЙ,т.е.

Ф(-x)=-Ф(x);

Св-во2:при x>5 Ф(x)=0,5;т.о.Ф( )=0,5.

18. Предельные теоремы Муавра-Лапласа

Локальная теор. М-Л:если вероятность р появления

события А в каждом из N независ. исп-й постоянна и p>0,1

,то р появления соб-я А в N испытаниях k раз

вычисляется по ф-ле:

Интегральная теор. М-Л: если вероятность р наступления

события А в каждом из испытаний постоянна, то р того, что

соб-е А в N испытаниях появится не менее k1 и не более k2 раз:

19. Схема Бернулли. Формула Бернулли.

Теорема Бернулли:Вероятность того, что событие А произойдёт

ровно k раз при n независимых испытаниях, в каждом из которых

вероятность появления соб-я А равна р (непоявления:q=1-p)

определяется формулой Бернулли:

Док-во: по теореме умножения вер-й независ. событий вероятность

наступления события А k раз в n независимых испытаниях равна ,

таких событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний

из n элементов по k: ; т.к. соб-я несовместны, то по теор.

сложения вероятностей:

Формула Бернулли применяется, когда n — невелико (не больше 10).

Если n>10, то на практике применяют: локальную теорему Муавра-Лапласа

(p>0,1) или формулу Пуассона(р<0,1).

20. Наивероятнейшее число появления события. Формула Пуассона.

Ф.Пуассона – простейшая модель простого потока событий. Поток событий –

Последовательность соб-й, появляющихся в случайные моменты. Пуассоновский

поток – одинарный (одиночное появление соб-й), стационарный (вер-сть появл-я

соб-я А зависит не от начала отсчёта, а от продолжительности).

Если вероятность р наступления события А в каждом из испытаний

постоянна и мала (p<0,1),а число испытаний n велико, то р появления

соб-я А в n исп-ях k раз вычисляем по ф-ле Пуассона:

21. Вероятность отклонения св от мо. Правило трёх сигм.

Найдём вероятность того, что нормально распределённая СВ x отклонится от

МО a не более чем на заданную величину отклонения δ:

Т.о. вероятность того,что отклонение СВ х от МО а окажется меньше утроенного

среднего квадратического отклонения σ, равна 0,9973,т.е. вер-сть того, что отклонение

превысит 3σ равна 0,0027(невозможное событие), следовательно(правило 3^х сигм): если СВ распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от МО не превышает 3σ.

22. Неравенства Чебышева.

Для любой СВ х и любого ξ>0 справедливо неравенство Чебышева №1:

23. Теоремы Чебышева.

Теорема: Пусть х₁,х₂,..,х_n- последов-сть попарно независимых СВ(D(x_i)=const)

и ограничены в совокупности D(x_i)<=C, при любом n, тогда посл-сть

, будет сходиться к 0, при n→0.

Обобщенная т. Чебышева: Среднее арифметическое n одинаково распределённых СВ ,имеющих МО M(x_k)=m, при n→ стремиться по вероятности к числу m:

24. Теорема Бернулли:

Относительная частота появления события А при n независ. исп-ях по схеме Бернулли

сходится по вероятности, при n→ к вероятности Р появления соб-я в одном исп-ии:

25. Предельная теорема Ляпунова.

Пусть -посл-сть независимых одинаково распределённых СВ, М(х)=m, D(x)=σ²,

тогда закон распределения вероятностей СВ

26. МО и дисперсия числа появления события в n независимых испытаниях.

Числовые характеристики СВ:

МО (М(х))- центр распределения СВ(среднее значение СВ);

Дисперсия (D(x)) – рассеяние СВ относительно МО;

27. Начальные и центральные моменты СВ и их вычисление.

Среднее квадратическое отклонение СВ σ(x)=√D(x);

Начальный момент порядка k СВ х – это МО величины х^k:

Центральный момент порядка k СВ х – это МО величины (х-M(x))^k:

28. Вероятность попадания СВ, распределённой нормально в заданный инт-л.

Теорема: Вероятность того, что непрерывная СВ х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β), равна определённому интегралу от дифференциальной ф-ции ,взятому в пределах от α до β:

№29. Системы двух СВ и законы их распределения

Пусть на вероятностном пространстве (W,F,P) заданы 2 СВ x=x(ω), y=y(ω), ω є W.

Совокупность (x,y) наз. 2-мерной СВ. 2-мерная СВ (x,y) наз. дискретной если ее составляющие явл дискретными СВ. 2-мерная СВ (x,y) наз. непрер., если ее составляющие явл непрер. СВ. Функцией распределения двумерной СВ наз вероятность совместн распределения вер-тей (совместн. Выполнение нер-в):

X<x, Y<y

F(x,y) – есть вер-ть того, что СВ попадает в какой-то квадрат K.

Свойства

1. 0<F(x,y)<1; 2) ; - ф-ии распр-я сост-х.

F(x,y) – возрастающая ф-я по каждому аргументу.

Закон распределения вероятностей дискретной двумерной СВ.

Пусть (x,y) - ДСВ x:{x₁…x_m}; y:{y₁…y_n}

Законом распределения ДДСВ наз перечень всевозможных значений (x_i, y_j) и соответствующих каждой паре вероятностей P_ij=P(x= x_i,y₌ y_i), причем сумма этих вероятностей равна 1.

Закон распределения ДДСВ задается таблицей

y x	y1	….	yn
x1	P11	…	P1n
x1	P21	…	P2n
….	….	…	…
xm	Pm1	…	Pmn

Зная закон распределения ДДСВ, то можно найти функцию распределения

T. Если известен з-н распределения ДДСВ (x,y), то можно найти закон распределения для составляющих

,

Закон распределения ДСВ не м.б выражен через законы распределения составляющих. Это приводит к необходимости введения понятия условного закона распределения .

Опр. Распределение 1-й СВ входящей в систему, найденное при условии, что другая величина приняла определенное значение, наз условным законом распределения. Его можно задать как условной функцией распределения так и условной плотностью распределения. f(x/y); F(x/y). Это означает, что условные з-ны распределения СВ x, при условии, что y приняло какое-то конкретное значение. Чтобы найти плотности условных величин нужно воспользоваться формулами:

и можно записать эти формулы по другому

и

№30. Ф-я и пл-ть распределения системы 2-х СВ и их свв-ва

Функция f(x,y) называется плотностью распределения ДСВ если интегральная функция распределения представима в виде

Свойства

1. ; 2. f(x,y)>=0 при любом x и y; 3.

4. Вероятность того, что некоторая точка попадет в обл D есть двойной интеграл по данной обл от плотности

T. Если f(x,y) плотность распределения вероятностей непр. ДСВ, то плотность распределения составляющих x и y:

Д-во:

Продифференцируем данное выражение по x

Продиф. Данное выражение по y и получим

Вывод: Чтобы задать закон распределения ДСВ нужно задать или ф-ю распределения F(x,y) или плотность распределения f(x,y).

№31. Условная ф-я и условная пл-ть распределения СВ

Условная функция и условная плотность распределения СВ.

Условная плотность распределения случайной величины Y при условии X=x определяется равенством

Условная плотность обладает свойствами плотности распределения:

,

Аналогично определяется условная плотность распределения СВ X при условии Y=y.

№32 . Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник и произ. Обл-ть.

Найдем вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник. Искомую вероятность можно найти, например, так :

Из вероятности попадания случайной величины в полуполосу АВ ()

(эта вероятность равна F(x₂,y₂)- F(x₁,y₂)) вычесть вероятность попадания точки в полуполосу CD(эта вероятность равна F(x₂,y₁)- F(x₁,y₁))

А(x₁,y₂)

B(x₂,y₂)

C(x₁,y₁)

D(x₂,y₁)

.

Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область D равна двойному интегралу от плотности по области D, т.е.

.

№33. Мат. Ожидание непрерывной СВ Х с плотностью вероятности f(x) называется число

Свойства:

1. М.о. от постоянной величины равно постоянной величине;

Д-во: Константа С – это дискретная случайная величина, которая принимает одно лишь значение С с вероятностью 1. Тогда М(С) = С*1 = С

2) Постоянный множитель выносится за знак М.о.

Д-во: Пусть х_i – дискретная СВ.

3) М.о. суммы СВ равно сумме ожиданий СВ.

Д-во: Пусть х_i = y + z; M(y+z) =

5) М.о. отклонения СВ от М.о. равно нулю.

Д-во: M(x-M(x)) = M(x) – M(M(x)) = M(x) – M(x) = 0.

Дисперсия – рассеяние СВ вокруг М.о.. D(x) = M(x-M(x))²

Т. Дисперсия равна разности между М.о. квадрата СВ х и квадратом его М.о..

D(x) = M(x²) – [M(x)]²

Д-во: D(x) = M(x-M(x))² = M(x² – 2xM(x) + [M(x)]²) = M(x²) – 2M(x)*M(x) + [M(x)]² = M(x²) – [M(x)]²;

Св-ва:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Д-во: D = M(C – M(C)) = M(C) – M(C) = 0;

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

Д-во: D(x) = M(Cx – M(Cx))² = C²M(x-M(x))² = C²D(x).

3) Дисперсия суммы двух независимых СВ = сумме дисперсий этих величин.

Д-во: D(x+y) = M(x+y)² – [M(x+y)]² = M(x² + 2xy + y²) – [M(x)+M(y)]² = … =M(x²) – [M(x)]² + M(y²) – [M(y)]² = D(x) + D(y).

4) Дисперсия суммы постоянной и случайной величины равна дисперсии СВ.

D(x+C) = D(x) + D(C) = D(x).

5) Дисперсия разности СВ равна сумме дисперсий СВ:

D(x-y) =D(x)+D((-1)*y) = D(x)+(-1)²*D(y) = D(x) + D(y).

6) D(xy) = M(x²)M(y²) – [M(x)]²[M(y)]².

Средн. Квадратичн. Отклон-м СВ х наз. Квадр. Корень из ее дисперсии

Медианой непрерывной СВ x называется такое значение х_p, что P(X<x_p) = P(X>x_p) = ½. Это точка, для кот. Одинаково вероятно окажется ли СВ х больше х_p или меньше х_p.

Начальным моментом порядка k СВ х называет М.о. величины х в степени k:

Центральным моментом порядка k СВ х называется М.о. величины (x-M(x))^k =

№34. Числовые характеристики системы непрерывных ДСВ

Математическое ожидание – совокупность 2-х м.о MX и MY, определяемых равенствами:

, (здесь f(x,y) – плотность распределения системы). М.о – определяет среднее значение СВ.

Дисперсией системы СВ (X,Y) наз совокупность двух дисперсий DX и DY, определяемых равенствами:

,

Дисперсия характеризует рассеяние случайной точки (X,Y) в направлении осей O_x и O_y вокруг точки (m_x,m_y) на плоскости O_xy – центра рассеяния.

Математические ожидания MX и MY являются частными случаями начального момента , порядка k+s системы (X,Y), определяемого равенством

, , .

Дисперсии DX и DY являются частными случаями центрального момента , порядка k+s системы (X,Y), определяемого равенством , .

Корреляционным моментом двух СВ X и Y наз мат.ожид произведения отклоненинй этих СВ от их мат.ожид и обознач-ся через K_xy

№35. Числовые характеристики системы дискретных ДСВ

Математическое ожидание – совокупность 2-х м.о MX и MY, определяемых равенствами:

, (здесь p_ij =P{X=x_i,Y=y_j})

М.о – определяет среднее значение СВ.

Дисперсией системы СВ (X,Y) наз совокупность двух дисперсий DX и DY, определяемых равенствами:

,

Дисперсия характеризует рассеяние случайной точки (X,Y) в направлении осей O_x и O_y вокруг точки (m_x,m_y) на плоскости O_xy – центра рассеяния.

Математические ожидания MX и MY являются частными случаями начального момента , порядка k+s системы (X,Y), определяемого равенством

, , .

Дисперсии DX и DY являются частными случаями центрального момента , порядка k+s системы (X,Y), определяемого равенством

, .

Корреляционным моментом двух СВ X и Y наз мат.ожид произведения отклоненинй этих СВ от их мат.ожид и обознач-ся через K_xy

№36. Корреляционным моментом (или ковариацией ) двух СВ X и Y наз мат.ожид произведения отклоненинй этих СВ от их мат.ожид и обознач-ся через K_xy

если (X,Y) – дискретная ДСВ, то

если (X,Y) – непрерывная ДСВ, то

или

Свойства

1. Ковариация симметрична, т.е.

K_XY=K_YX.

2. Дисперсия СВ есть ковариация ее с самой собой, т.е

K_XX=DX, K_YY=DY.

3. Если СВ X и Y независимы, то K_XY=0.

4. Дисперсия суммы двух СВ равна сумме их дисперсий плюс (минус) удвоенная ковариация этих СВ, т.е.

5. Постоянный множитель можно вынести за знак ковариации

K_cX,Y=cK_XY= K_X,cY

6. Ковариация не изменяется, если к одной из СВ (или к обоим сразу) прибавить постоянную:

K_X+с,Y= K_X,Y= K_X,Y+с= K_X+с,Y+с

7.Ковариация двух СВ по абсолютной величине не превосходит их среднеквадратическое отклонение:

| K_XY |<=σ_xσ_y