Глава VIII

ПАРАДОКСАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ ИНТУИЦИИ

Если у некоторых умов, исключительно интуитивных, идеи могут рождаться и комбинироваться в еще более глубоких слоях бессознательного, как мы только что рассмотрели, то возможно, что даже очень важные звенья дедукции могут оставаться неизвестными даже самому автору. История науки дает несколько замечательных примеров этого.

Ферма (1601 — 166 5). Пьер Ферма был магистром, советником тулузского парламента. В то время жизнь была менее сложной, чем сейчас, и его служебные обязанности, вероятно, не были ему помехой в его весьма значительных математических исследованиях. Кроме участия в первом этапе построения исчисления бесконечно малых и даже в создании теории вероятностей, он активно занимался вопросами теории чисел. Среди трудов древних математиков, которыми он располагал, был перевод Диофанта, греческого ученого, который занимался арифметическими вопросами. После смерти Ферма в его экземпляре Диофанта нашли на полях следующее замечание (по латыни):

«Я доказал, что соотношение x^m+y^m=zⁿi невозможно в целых числах (х, у, z отличны от нуля, m больше чем 2). Но на полях недостаточно места, чтобы записать доказательство»'.

Три века прошло с тех пор, и все еще ищут доказательство, которое Ферма мог бы написать на полях, если бы они были больше. Тем не менее кажется, что Ферма не ошибся, так как частные доказательства для некоторых обширных классов значений показателя m найдены; например, нашли доказательство для всех m до 100 ². Но огромная работа, которая сделала возможным получение этих частных результатов, не могла

¹ По форме, но не по существу, фраза в тексте несколько отличается от записи, сделанной Ферма.— Прим. ред.

² К настоящему времени известно, что соотношение xm+ym_=ztn неразрешимо в целых числах для т^2521. — Прим. ред.

109

быть произведена путем прямых математических раС-1 суждений ': эта работа требовала применения несколь-' ких важных алгебраических теорий, которые были совершенно неизвестны в эпоху Ферма, и никаких] намеков на которые нет в записях Ферма. После того как в течение XVIII и начала XIX века ^; были установлены некоторые основные положения^ алгебры, немецкий математик Куммер, чтобы приступить к проблеме «последней теоремы Ферма», должен i был ввести новое и смелое понятие «идеала» — грандиозная идея, которая полностью революционизирова-| ла алгебру. Но, как мы только что сказали, даже этс мощное орудие математической мысли дало до сих по| лишь частные случаи доказательства этой таинственной теоремы.

Риман (1826—186 6). Бернгард Риман, огром| ную интуитивную способность которого мы уже отмеча^ ли, существенно обновил наши знания о распределение простых чисел, также одного из наиболее таинствен* ных вопросов математики². Он научил нас получат^ результаты в этом направлении, пользуясь ме*| тодами интегрального исчисления, точнее, изучая| некоторую величину, являющуюся функцией переменной S, которая может принимать действительные или¹! мнимые значения. Он доказал некоторые важные свойства этой функции, но два или три важных свойства он указал не приводя .доказательства. После смерти Римана в его бумагах нашли запись, в которой говорилось: «Эти свойства С (S) (функции, о которой идет

¹ Такого рода подход в течение двух последних веков использовался наиболее знаменитыми математиками, начиная с Абеля. Все важные результаты, которые можно получить в этом направлении, видимо, получены; эти результаты весьма ограниченны. Академия Наук ежегодно получает несколько работ на эту тему, большинство из которых являются абсурдными, а в некоторых воспроизводятся уже известные результаты, полученные Абелем и другими.

² Эти примеры Ферма и Римана относятся к арифметике. Арифметика, хотя с нее начинают преподавание в младших классах школы, оказывается одной из самых трудных (если не самой труд-нон) из математических наук, когда пытаются в нее углубиться. Существенные результаты в арифметике получают обычно тогда, когда арифметические вопросы сводят к высшей алгебре и к анализу бесконечно малых.

(Арифметика у французских и немецких авторов часто приме няется как синоним теории чисел. — Прим. ред.).

ПО

<>ечъ) выводятся из одного-из ее выражений, которое я не сумел достаточно упростить, чтобы опубликовать».

Мы и сейчас не имеем ни малейшего понятия о том, что могло бы представлять собой это выражение! Что же касается свойств, простой формулировкой которых он ограничился, то мне потребовалось десятка три лет, чтобы я смог их доказать — все, кроме одного. Что касается этого последнего свойства, то оно до сих пор остается недоказанным, хотя благодаря огромной работе, проделанной за последние полвека, получено несколько очень интересных результатов в этом направлении. Кажется все более и более вероятным — но еще никоим образом не достоверным — что гипотеза Рима-па верна. Естественно, все эти дополнения к трудам Римана могли быть сделаны лишь благодаря фактам, которые в его время были абсолютно неизвестны; что же касается одного из свойств, которое он сформулировал, то почти невозможно понять, как он мог его открыть, не используя частично этих общих принципов, хотя он не упоминает о них в своем мемуаре¹.

Галуа (1811 — 183 1). Одной из наиболее поразительных была личность Эвариста Галуа, чья трагическая жизнь, оборвавшаяся в ранней юности, дала науке один из наиболее важных памятников, которые мы знаем. Страстная натура Галуа была покорена математикой с тех пор, как он познакомился с «Геометрией» Лежандра. Но им неистово владело другое чувство, чувство восторженной преданности республиканским и освободительным идеям, за которые он страстно и порою весьма неосторожно боролся. Однако! смерть настигла его в возрасте двадцати лет, не в ходе: этой борьбы, а на бессмысленной дуэли ².

Галуа провел ночь перед дуэлью, проверяя заметки-о своих открытиях. Это были: рукопись, которую откло-

¹ Заметим, что на примере этого открытия Римана вновь можно наблюдать разницу между двумя видами интуиции, которые Пуанкаре считал идентичными. Вообще говоря, Риман обладал интуицией в высшей степени геометрического характера, как это отмечал Пуанкаре, однако в работе о простых числах, где интуиция Римана достигает вершин глубины и таинственности, геометрические элементы не играют существенной роли.

² Есть основания полагать, что дуэль, на которой был убит Галуа, была подстроена полицией.— Прим. ред.

111

ИИЛа Академия наук как непонятную (не нужно удйЯ ляться, что столь высоко интуитивные умы высказья ваются очень «темно»); затем письмо другу, с короя кими поспешными замечаниями о других прекрасный идеях, с многократным повторением на полях одних ■ тех же слов «У меня нет времени». Действительной оставалось четыре часа до того, как он ушел туда, где его ждала смерть. 1

Все его глубокие идеи были сначала забыты, и лишь' через пятнадцать лет ученые с восхищением обратили внимание на мемуар, который отклонила Академия. В этом мемуаре содержится полное преобразование высшей алгебры, и он проливает яркий свет на то, о чем до тех пор лишь догадывались наиболее крупные математики, одновременно связывая алгебраическую проблему с другими проблемами из совсем иных отраслей науки.

Но в связи с тем, что непосредственно касается нашей темы, рассмотрим отрывок из письма, написанного Галуа его другу, где он формулирует теорему о «периодах» некоторого класса интегралов. Эта теорема, ясная для нас, не могла быть понята учеными, жившими в эпоху Галуа: эти «периоды» не имели смысла при состоянии науки того времени; они приобрели смысл лишь благодаря некоторым принципам теории функций, теперь классическим, но открытым четверть века спустя после смерти Галуа. Итак, нужно допустить: 1) что Галуа должен был каким-то образом составить себе представление об этих принципах; 2) что они должны были остаться для него неосознанными, так как на них у него нет и намека, хотя они сами по себе составляют важное открытие.

Случай Галуа заслуживает внимания в связи с подчеркнутым нами выше различием. С некоторой точки зрения он нам напоминает Эрмита. Как и он, Галуа является глубоким аналитиком, хотя и стал энтузиастом науки благодаря курсу геометрии Лежандра. Один из его первых опытов (когда он еще был на лицейской скамье) носил геометрический характер, но он остался единственным. Любопытная вещь: преподаватель математики в лицее у Галуа, г-н Ришар (заслугой которого является то, что он сразу же открыл необыкно-

112

венные способности Галуа), через Пятнадцать лет стал преподавателем Эрмита; но это надо рассматривать как простое совпадение, так как очевидно, что гений таких людей является даром природы, независимо ни от какого образования.

С другой стороны, Галуа, который был очевидным представителем интуитивных умов по нашему определению (А), не кажется таковым по определению (Б). В доказательстве общей теоремы, которая содержит окончательное решение основной проблемы алгебры, нет следа «рассеянных идей», нет комбинаций разнородных по внешности принципов; его мысль, так сказать, интенсивна, но не экстенсивна. И я склоняюсь к тому, чтобы это же сказать об открытиях, содержащихся в его последнем письме (написанном в ночь перед его роковой дуэлью), хотя течение его мыслей не могло проявиться так же отчетливо в этой серии лишь кратко высказанных результатов. Это не исключает возможности случайной связи между аспектами (А) и (Б) интуиции; но в случае Галуа эти аспекты кажутся независимыми друг от друга.

Вместе с тем ясно, что Галуа глубоко отличается от Эрмита, чье открытие квадратичных форм — типичный пример «мышления около».

Случай в работе Пуанкаре. Кажется, никто не заметил, что нечто аналогичное есть в труде Пуанкаре «Новые методы небесной механики». В III томе (стр. 261) он говорит о вариационном исчислении и использует достаточное условие для минимума, эквивалентное условию, вытекающему из метода Вейерштрасса (о котором мы говорили на стр. 105). Но он не дает доказательства этого условия: он говорит о нем как об известном факте. Как мы указывали, метод Вейерштрасса не был опубликован к моменту, когда был написан этот том «Новых методов». Более того, у Пуанкаре нет никакого намека на открытие Вейерштрасса, что он должен был сделать, если бы получил частным образом хоть какие-либо сведения. И особо нужно прибавить, что условие высказано в форме, несколько отличной (хотя в основном эквивалентной) от той, которая классическим образом вытекает из метода Вейерштрасса. Должны ли мы считать,

8—1467 113

что рассуждение Вейерштрасса — или другое, ему ана-< логичное — было открыто Пуанкаре, но осталось совершенно им не осознанным? ' |

Исторические сравнения

В подобных случаях приходится признать, что некоторые части умственного процесса развиваются в столь глубоких слоях бессознательного, что остаются скрытыми от нашего сознания элементы, которые могут быть даже очень важными. Здесь мы вновь подходим к явлению раздвоения личности в том смысле, как его рассматривали психологи XIX века.

История дает нам даже примеры как бы посредников между этими двумя типами явлений. Сократ был уверен, что его идеи были ему продиктованы его личным демоном, и Нума Помпилнй часто консультировался у нимфы по имени Эгерия.

Видимо, можно говорить об аналогичном примере и из области математики. Кардано был не только изобретателем знаменитого «карданова подвеса», но он основательно преобразовал математику изобретением мнимых чисел. Напомним, что такое мнимая величина: алгебраические правила показывают, что квадрат всякого числа, положительного или отрицательного, есть число положительное; следовательно, говорить о квадратном корне из отрицательного числа является просто абсурдом. Кардано сознательно допускает такой абсурд'

¹ Случай покажется еще более странным, если заметить, что на той же 216 странице третьего тома, всего несколькими строками выше, Пуанкаре пишет: «Это исследование связано с трудным вопросом о второй вариации».

Однако в теории Вейерштрасса, т. е. в нашем современном вариационном исчислении, нет вопроса о второй вариации — она совершенно не используется.

Таким образом, на этой странице «Новых методов» получилось любопытное противоречие. Упоминание о «второй вариации» сделано человеком, который представления не имеет о новой теории. С другой стороны, Пуанкаре, показал, что он ее вполне себе представлял, когда формулировал свое условие (А) (такую форму он придал условию Вейерштрасса). Однако до появления новой теории никто не думал о вещах такого рода: знали лишь классическое, но ие столь адекватное «условие Лежандра».

Следует ли сделать заключение, что Пуанкаре испытал своего рода раздвоение личности?

114

н приступает к действиям над этими «мнимыми» числами.

Всякий объявил бы это чистым безумием, и тем не менее все развитие алгебры и анализа было бы невозможным без этого отправного положения, которое, естественно, получило в XIX в. твердое и строгое обоснование. С тех пор стало возможным утверждать, что наиболее короткий и наилучший путь между двумя истинами в действительной области часто проходит через мнимую область.

Мы упоминаем о Кардано одновремено с Сократом и Нумой Помпилием, так как некоторые из его биографов сообщают, что были и в его жизни периоды, когда таинственный голос что-то внушал ему. Но свидетельства на этот счет не лишены противоречий.

8*