Глава IX
ОБЩЕЕ НАПРАВЛЕНИЕ, ДАННОЕ ИССЛЕДОВАНИЮ
Прежде чем попытаться что-либо открыть или попробовать решить определенную задачу, ставится следующий вопрос: что мы будем пытаться открыть? Какую проблему мы попытаемся решить?
Две концепции изобретения
В своем (уже упомянутом) вступительном слове на коллоквиуме в Центре синтеза Клапаред заметил, что, существует два вида изобретений: один характеризуется тем, что цель известна и нужно найти средства, чтобы ее достигнуть, так что ум идет от цели к средству, от вопроса к решению; другой, напротив, состоит в том, чтобы открыть факт и затем представить себе, чему он мог бы служить, так что на этот раз ум идет от средства к цели и ответ доходит до нас раньше, чем вопрос.'
И вот, как это ни кажется парадоксальным, чаще всего встречается второй вид изобретений, и он становится все более общим по мере развития науки. Практическое приложение находят тогда, когда его не ищут, и; можно сказать, что вся программа современной цивилизации зиждется на этом принципе. Когда греки, приблизительно за 4 века до новой эры, рассматривали эллипс (т. е. плоскую кривую, порожденную движением точки М, сумма расстояний которой MF-f-MF' от двух данных точек F и F' посстоянна), и вывели отсюда многочисленные и замечательные следствия, они не могли'думать ни о каком использовании этих открытий. И тем не менее без этих исследований Кеплер не мог бы открыть спустя 2000 лет законы движения планет и Ньютон не мог бы открыть закон всемирного тяготения.
Результаты более практического характера подчиняются тому же правилу. Первоначально воздушные шары наполняли водородом или светильным газом, что создавало серьезную угрозу взрыва. В настоящее время 116
мы можем наполнять эти шары негорючими газами. Этот процесс стал возможен по двум причинам: во-первых потому, что сумели узнать, какие вещества содержатся в атмосфере солнца и какие там не содержатся; и, во-вторых, потому, что учеными, в том числе Релеем и Рамзаем, были начаты исследования по определению плотности азота с точностью до 0,0001 вместо точности to 0,001, которая была получена раньше. Оба этих вопроса были изучены прежде, чем предвидели какое бы го ни было их применение.
Но мы должны прибавить, что, естественно, и приложения полезны и фактически необходимы для теории, потому что они ставят перед теорией новые вопросы. Можно сказать, что приложения и теория находятся в гом же отношении, как лист и дерево: дерево держит лист, но лист питает дерево. Не желая перечислять различные важные физические примеры, напомним лишь, что первая математическая основа греческой науки — геометрия — была вызвана практической необходимостью, как это показывает само ее название — «землемерие».
Но этот пример исключителен в том смысле, что чаще всего практические вопросы решаются с помощью существующих теорий: практические приложения открытий чистой науки, как бы важны они не были, приходят обычно гораздо позднее (хотя в последнее время эта отсрочка может быть значительно сокращена, как это было при изобретении радиотелеграфа, который начал функционировать уже через несколько лет после открытия Герцем радиоволн, или совсем недавно, при открыли атомной энергии). Редко бывает, чтобы важные магматические исследования были предприняты непосредственно с целью их определенного практического применения. Чаще всего исследователи руководствовались общим мотивом всякой научной работы — желанием знать и понимать. Следовательно, из двух названных нами видов изобретения математикам известен лишь второй.
Выбор темы
Оставляя в стороне практические приложения, которые обычно, если могут быть сделаны, будут сделаны гораздо позднее, заметим, что математические открытия
П7
могут быть более или менее богаты теоретическими следствиями. Чаще всего они остаются нам неизвестными, так же полностью неизвестными, как людям, установившим впервые химический состав солнечной атмосферы, были неизвестны невозгораемые воздушные шары.
Как же мы должны выбирать тему исследования? Этот деликатный выбор является одной из наиболее, важных сторон исследования — именно по этому выбору мы обычно судим о значении ученого.
Уже на этом выборе мы основываем наше суждение о начинающих исследователях. Студенты у меня часто консультировались по вопросу выбора темы; когда ко мне обращаются за таким советом, я его охотно даю, по должен признаться, что при этом (предварительно, конечно) я склонен считать спросившего человеком второ-1 го сорта. В другой области такого же мнения придержи-I вается крупный индолог Сильвен Леви, который мне рас-1: сказал, что когда ему был задан такой вопрос, у него I было желание ответить: «Мой юный друг, вы слушали! мои лекции в течение трех или четырех лет и вы ни ра-| зу не заметили, что нужно было бы углубить?». I
Но чем руководствоваться в этом важном и трудное выборе? Ответ почти не вызывает сомнения: это тот ЩШ ответ, который нам дал Пуанкаре по поводу средс|И делать открытия, тот же для «мотора», что и для «м|Н ханизма». Гид, которому мы должны довериться, это 1Ш чувство красоты, та особая эстетическая чувствителВ»^ ность, важность которых он подчеркивал.
Как это отмечает Ренан', научный вкус существует так же, как существует вкус художественный или литературный; и этот вкус может быть более или менее верным в зависимости от индивида.
О плодотворности наших будущих результатов, о которой, строго говоря, мы чаще всего заранее ничего не знаем, нас может информировать это чувство красоты, и я не вижу ничего другого, что бы нам позволило строить догадки. По крайней мере, как мне кажется, оспаривать это — было бы лишь спором о словах. Не зная ничего более, мы чувствуем, что продолжать исследование по такому-то направлению стоит труда; мы чув-
1 Renan „L'Avenir de la Science", p. 115. (см. рус. перевод: Эрнест Penan, «Будущее пауки», т. 1—2, Киев. нзл. К Б Фукс. 190Щ
J18 1
отвуем, что вопрос сам по себе заслуживает внимания и что его решение будет иметь некоторую ценность для науки независимо от того, будет ли оно или не будет иметь в будущем приложение. Каждый волен называть это чувством красоты или нет. Бесспорно, это то, о чем думали греческие геометры, изучая эллипс, так как они не могли думать ни о чем другом.
Что касается приложений, даже совершенно непредвиденных, то в дальнейшем они чаще всего появляются, если наше начальное чувство было верным. Я приведу несколько личных примеров, но прошу извинить это неоднократное обращение к моему личному опыту, о котором я, естественно, осведомлен лучше всего.
Когда я представил мою докторскую диссертацию на рассмотрение Эрмиту, он заметил, что было бы очень полезно найти приложения. В тот момент я не знал ни одного возможного приложения. Но в промежутке между днем, когда я подал рукопись, и днем, когда я защищал диссертацию, я узнал, что французский институт предложил в качестве конкурсной темы решить одну важную проблему (ту, о которой мы говорили на стр. 111 i связи с Риманом); и оказалось, что результаты моей диссертации дают решение этого вопроса. Я руководствовался лишь чувством интереса к проблеме, и оно меня вывело на правильный путь.
Несколькими годами позднее, снова занимаясь этими же вопросами, я получил один очень простой результат', который мне показался элегантным; я его сообщил мо-му другу, физику Дюгему; он меня спросил, каковы применения этого результата. Когда я ответил, что до их пор не думал над этим, Дюгем, который был не только выдающимся физиком, но и замечательным художником, сравнил меня с живописцем, который начал рисовать пейзаж не выходя из мастерской, и который •атем идет на прогулку, чтобы открыть в природе пей->аж, соответствующий его картине. Это сравнение покаялось мне верным, но в действительности я был прав, не заботясь о приложениях: они пришли позднее.
За несколько лет до этого (в 1893 г.) меня заинтере-i овал один алгебраический вопрос (об определителях), ^ешая его, я не подозревал, что он может быть как-то
1 Для специалистов: это была «теорема композиции».
119
полезен, и удовлетворился лишь чувством, что заслуживает интереса; а в 1900 г. появилась теори| Фредгольма', для которой, как оказалось, результат полученный в 1893 г., был существенен.
Чрезвычайно удивительные, я бы даже сказал ош^ ломляющие, факты такого рода дает нам поразительно! развитие современной физики. В 1913 г. Эли Карта* один из первых французских математиков, стал размыг. лять в связи с теорией групп об одном замечательно^ классе аналитических и геометрических преобразовав ний. Для специального рассмотрения этих преобразований в ту эпоху не было никакого основания, кроме их эстетических свойств. А через 15 лет физики открыли опытным путем удивительные явления, связанные электронами, и они смогли их понять лишь благодаря идеям Картана 1913 г.
Но нельзя привести более типичный пример в это^ смысле, чем современный функциональный анализ. Koi| да Иоганн Бернулли искал в XVIII в.2, какова долж1 быть форма кривой, падая вдоль которой небольшое в| сомое тело проходит расстояние в минимальный пром| жуток времени, он был привлечен красотой этой проблй мы, столь отличной от всего, что рассматривалось до те пор, хотя и представлявшей явную аналогию с проблв мами, которые уже рассматривались в исчислении бе! конечно малых. Им могла руководить лишь эта красота Нельзя было и подозревать в его время, что впоследс^ вии вариационное исчисление — т. е. теория проблем т^ кого вида — поможет усовершенствовать механику конце XVIII и в начале XIX в.
Еще более удивительным оказалась судьба того* обобщения этой первоначальной концепции, которое было развито в конце XIX в., главным образом под мощным влиянием Вольтерра. Почему этот крупный итальянский геометр стал оперировать с функциями так, как
1 Это тл самая теория, мимо которой я прошел, «ие заметив ее», как я расеказаывал об этом в гл. IV. Утешением для моего самолюбия было лишь то, что я дал звено, оказавшееся необходимым для выводов Фредгольма.
2 Небольшая неточность автора: задача о брахистотропе была поставлена и решена Иоганном Бернулли (а т^кже Лейбницем, Ньютоном, Яковом Бернулли и Лопиталем) в конце XVII века.— Прим. ред.
120
в исчислении бесконечно малых оперируют с числами, т. е. рассматривая функцию как непрерывно меняющийся элемент? Только потому, что он отдавал себе отчет в том, что этот метод должен был гармонично дополнить структуру математического здания, точно так же, как архитектор видит, что здание будет лучше уравновешено, если прибавить к нему одно крыло. Уже тогда можно было представить себе (как мы объясняли в гл. III), что гармоничное творение такого типа может помочь решать такие связанные с функциями проблемы, которые раньше рассматривались лишь с одной точки зрения; но то, что эти «функционалы», как назвали это новое понятие, могут быть непосредственно связаны с действительностью, нельзя было считать ничем иным, как нелепостью. Функционалы казались математическим понятием, существенно и полностью абстрактным.
И вот, произошла именно нелепость: столь мало понятное и трудно постижимое новое понятие, каким оно могло казаться современным физикам, с которым умеют обращаться только студенты, уже свободно владеющие математическим анализом, оказалось абсолютно незаменимым, чтобы математически представить любое физическое явление (согласно недавней теории «волновой механики»). Каждую из доступных наблюдению величин— давление, скорость и т. д., — которую обычно определяли с помощью чисел, нельзя больше рассматривать как число — математически она представляется функционалом!
Эти примеры дают достаточно полный ответ на сомнение, выраженное Уолласом по поводу значения чувства красоты в качестве «двигателя» открытия. Наоборот, создается впечатление, что у нас в математике это чувство является чуть ли не единственным полезным.
Мы еще раз видим, что выбор направления мысли включает в себя эмоциональные элементы, и последнее обязательно имеет место при непрерывности внимания, при той верности ума своей цели, о важности которой мы говорили в гл. IV'.
На этой стадии, как и для вдохновения, выбор руко-
1 Рассматривая один из вопросов аналлагматической геометрии (см. гл. IV), я недооценил его красоты и не уделил ему в достаточной мере внимания.
9—1467 121
водствуется чувством красоты; но на этот раз мы обр щаемся к нему сознательно, в то время как в облас бессознательного это чувство работает, чтобы дать на вдохновение.
Направление изобретательской работы и стремление к оригинальности
Могут ли другие причины влиять на выбор исследо' вателем направления?
Один психоаналитик с полным основанием указал мне, что на исследовательскую работу часто могут оказывать влияние причины эмоционального характера (он мне привел некоторые типичные примеры, взятые из жизни Фрейда). Однако шансов на то, что это относится к математике, меньше — ввиду абстрактного характера этой науки, где, употребляя знаменитое выражение Бертрана Рассела, «никогда не знают, о чем говорят, и верно ли то, что говорят».
Поднимался также вопрос, не могут ли исследователи руководствоваться менее похвальным видом страсти, проистекающим из человеческого тщеславия: желанием сделать что-нибудь оригинальное.
Мне кажется, что в искусстве или в литературе подобная вещь возможна. Или, точнее, оставляя в стороне вопрос о тщеславии, отметим, что оригинальность является одним из тех требований, которое должен предъявлять к себе каждый артист или писатель. Само собой разумеется, это замечание не относится к действительно великим творцам. Например, как видно из письма Моцарта, ему не нужно было думать о том, чтобы быть оригинальным. Но не отразилась ли эта необходимость на формировании некоторых школ живописи? Или на произведениях, в которых некоторые писатели пытались парадоксальным образом изобразить поступки или психологию известных личностей? Такой вопрос можно поставить.
Возможно, что есть какая-то связь между подобными случаями и теми хорошо известными случаями, когда поэты (или другие художники) создавали произведения,
122
находясь в анормальном состоянии (например, Колридж в состоянии сна, вызванного опиумом). Уоллас1, который рассказывает о таких примерах, считает, что легкая «диссоциация духа» может быть полезной художнику, «который желает порвать со своими собственными привычками мыслить и видеть, и с традициями своей школы». Не составляет особого исключения то, что как доводится слышать, поэтические произведения создаются во время сна, тогда как мы видели, что это редкое, если не вообще малоправдоподобное явление для математического творчества.
В случае математика, который, как мы говорили вначале, является служителем, а не хозяином, положение действительно иное. Каждый результат, каждое решение, которое становится ему известным, ставит перед ним новые проблемы. И действительно, мне трудно было бы привести больше чем две или три работы, которые я назвал бы скорее странными, чем действительно оригинальными.
Тем не менее, ученый может часто оказаться в затруднительном положении, приступая к изучению той или иной проблемы не потому, что он знает, что она была решена, а наоборот, потому, что он не знает, решена ли она, что сделало бы его работу бесполезной; или — и это более бескорыстно с его стороны — естественно, что его внимание может привлечь вопрос (не лишенный сам по себе значения) просто потому, что им пренебрегали до сих пор. Так бывало часто со мной; я даже могу добавить, что, начав однажды работу над группой вопросов и заметив, что некоторые авторы избрали то же направление, я оставил эту тему и попытался найти что-нибудь другое. Физики мне говорили, что некоторые из корифеев современной физики не раз поступали таким же образом.
Должны ли мы изображать ученых как людей, желающих сделать какое-нибудь открытие с единственной целью «привлечь внимание публики» или «обеспечить
1 „The Art of Thought", стр. 206—210.
Уоллас указывает на тот факт,- что очень крупные ученые не стремятся к оригинальности, им это не нужно. Он говорит, что для них «в моменты работы устанавливается гармония между интенсивной деятельностью всей высшей и низшей нервной системы, с одной стороны, и сознательным эолевым усилием, с другой»,
себе приятное и независимое положение»? (Поль Сурьё). Можно допустить, что в жизни некоторых ученых иногда существенны мотивы такого рода, которые, когда мы склонны ослабить наши усилия, играют роль классической фразы: «Ты спишь, Брут». Возможно, это была не простая отписка со стороны Ампера, когда он, отвечая на постоянные напоминания и опасения Юлии Ампер, писал, что опубликование одного из его открытий — хорошее средство, чтобы получить место преподавателя в лицее. Но не такие чувства привели его к открытию; и я не могу даже себе представить, чтобы ученый мог сделать открытие, руководствуясь, главным образом, таким чувством. Исследователи с подобным направлением ума могут получить лишь посредственные результаты; идет ли речь о выборе темы или о методе ее исследования, человек, лишенный известной любви к науке, не может добиться успеха, так как он не в со-1 стоянии сделать правильный выбор 1. |
1 Точка зрения, аналогичная той, которая высказывается намщ в этой работе, изложена в недавно выпущенной брошюре Харди (G. Н. Hardy „A Mathematician's Apology"), Хотя он и н<? дает полного определения красоты (или «серьезности», как он это называет) математического вопроса или результата, — определения, которое, естественно, должно учитывать и эстетическую сторону дела, но Харди очень тонко и глубоко анализирует вопрос об условиях, которые должны быть соблюдены при таком определении.
Он рассматривает также вопрос о том, что влияет на исследователя. Он указывает три важных мотива и первым из них является, естественно, желание узнать истину. По причинам, о которых я говорил, я больше чем он отстаиваю положение, что именно этот мотив преобладает и даже необходим.
Заключительные замечания
Я попытался резюмировать и интерпретировать личные наблюдения, собранные с помощью коллег, занимающихся исследовательской работой. Было бы интересно исследовать другие важные аспекты темы, особенно «объективные» аспекты, о которых нам случалось упоминать: например, возможные связи между изобретательской мыслью и физиологией организма. Стоило бы уделить внимание идеям, в какой-то мере аналогичным идеям Галля. Но как? Для этого нужен более- квалифицированный специалист, чем я, и лучше знающий физиологию мозга. Но мы наталкиваемся здесь на трудность, о которой я говорил вначале и которая заключается в том, что, с одной стороны, математики недостаточно знают нейрологию, а с другой,—нельзя требовать от нейрологов, чтобы они настолько глубоко изучили математику, как это требуется. Настанет ли такое время, когда математики будут настолько знать физиологию мозга, а нейрофизиологи будут в такой степени в курсе математических открытий, что станет возможным действенное сотрудничество?
Я не отважился также сказать что-нибудь о социальных и исторических факторах, которые, несомненно, влияют на изобретение, как и на все прочее. Я мало что знаю о механизме этого влияния, и сомнительно, что нот механизм кому-либо известен. Попытки, подобные попытке Тэна в его «Философии искусства», несомненно, преждевременны; хотя на принципах, из которых при jtom исходили, печать гения, выводы, к которым пришли, весьма гипотетичны. В самом деле, трудности при таких попытках очевидны: не только невозможен какой-либо эксперимент в этой области, но и слишком редки люди с большим творческим дарованием, не говоря уже о гениях), чтобы можно было широко применить сравнительные методы. Поэтому проблема, которой мы здесь занимались, как и проблема, которой занимался Тэн, одна из самых трудных среди выдвигаемых перед
125
нами историей. Воздействие общества определяет прогресс математически так же неосознанно и в достаточной мере таинственно, как оно определяет развитие литературы и искусства. Несомненно кое-что верно в том, что говорит Клейн (в связи с теорией Гальтона о наследственности) об интуитивных и логических качествах ума (и то же самое можно сказать о математической способности вообще, и о том, как различные люди используют конкретные представления); но очень маловероятно, чтобы все обстояло так просто, как это представляли себе в школе Тэна.
Конечно, не случайно, что в эпоху Возрождения, особенно в Италии, было столько необыкновенных людей во всех сферах человеческой деятельности: Бенвенуто Челлини и Леонардо да Винчи одновременно с Галилеем; но сомнительно, что причины этого замечательного явления таковы, как предполагает Тэн 1.
Положение могло бы стать яснее, если бы вместо того, чтобы рассматривать общие случаи, мы изучили несколько индивидуальных. Говоря это, я имею в виду Кардана, который жил в ту же эпоху и поистине был одним из самых необыкновенных людей этого необыкновенного периода. И вполне естественным было бы ожидать, что открытие мнимых чисел, которое кажется скорее безумным, чем логичным, и которое осветило всю математику, было сделано человеком, чья полная приключений жизнь не всегда была образцовой с точки зрения морали, человеком, который с детства страдал галлюцинациями до такой степени, что Ломброзо выбрал его как типичный пример в главе «Гений и безумие» своей книги «Гений».
Если не прибегать к рассмотрению столь особых случаев, то исключительный характер рассматриваемых явлений становится препятствием для исследования, как только мы отходим от данных, получаемых путем самонаблюдения. С другой стороны, можно поставить воп-
1 Случайно ли сходство эволюции идей у греческих философов и у мыслителей нашей эры по вопросу о словах и о мышлении без слов и не проявляется ли в этом какой-то общий закон эволюции мышления? Естественно, этого нельзя утверждать, основываясь лишь на двух приведенных примерах. Но если бы это было доказано, такой факт был бы многозначителен. Возможно, что большой интерес представляет изучение этой проблемы в азиатской или в apjo-ской философии (особенно испанского периода),
126
рос, не могут ли помочь такого рода явления при изучении процессов, происходящих в других областях психологии. Например, мы видели, что рассмотренные в гл. VI проблемы имеют общие черты с вопросом о роли образов, рассмотренным Тэном, или с проблемами, изучаемыми гештальтпсихологией. В соответствии с правилом, которое кажется применимым к любой естественной науке (и из фактов, отмеченных на стр. 109—ПО (гл. VIII) следует, что оно применимо даже к математике), именно исключительное явление может помочь объяснить явление обычное; следовательно, все, что мы можем обнаружить в связи с изобретательским творчеством или даже, как в этой работе, с особой областью изобретательской деятельности, может пролить свет на психологию в целом.
Приложение
АНКЕТА О МЕТОДАХ РАБОТЫ МАТЕМАТИКОВ
Enseignement Mathematique («Математическое образование») т. IV (1902) и т. VI (1904)
1. Когда и при каких обстоятельствах, по вашим воспоминаниям, появился у вас интерес к математике? Является ли он у вас наследственным? Есть ли среди ваших предков или других членов вашей семьи (братьев, сестер, дядей, двоюродных братьев и сестер и т. д.) люди, имеющие математические способности? Оказали ли влияние на формирование вашей склонности к математике их пример и их личное воздействие?
2. К каким отраслям математики вы чувствуете наибольшую склонность?
3. Что вас больше интересует: математика как таковая или ее применение в естествознании?
4. Помните ли вы точно методику вашей работы во время учебы, когда вы стремились не столько к собственным исследованиям, сколько к усвоению чужих результатов? Можете ли вы сообщить что-нибудь интересное по этому поводу?
5. Как вы намеревались продолжать свое образование после прохождения обычного математического курса (соответствующего программе для получения степени лиценциата или звания «агреже»1?) Стремились ли вы до опубликования серьезных вещей расширять свои знания по многим направлениям математики, или, наоборот, углубленно изучали узкий вопрос, не касаясь того, что не было необходимым для его решения, и лишь постепенно расширяли круг вопросов? Или вы предпочитали другие методы; можете ли вы их указать? Какой из них вы предпочитаете?
6. Обращали ли вы внимание на то, как происходил процесс получения вами тех результатов, которые вы больше всего цените?
1 Примерно соответствует сдаче кандидатского минимума по специальности. — Прим. ред.
128
I
7. Какую роль по-вашему играют случай или вдохновение в математических открытиях? Так ли велика эта роль, как кажется?
8. Замечали ли вы когда-нибудь, что открытия или решения вопросов, которыми вы раньше бесплодно занимались, получались у вас внезапно, когда вы уже думали над вопросами совершенно иного характера?
Случалось ли вам вычислять или решать задачи во сне? Являлись ли вам при утреннем пробуждении совершенно готовые решения или открытия либо совершенно неожиданные, либо те, над которыми вы тщетно думали накануне или в предыдущие дни?
9. Считаете ли вы, что ваши основные открытия являлись результатом целенаправленной работы, или они возникали у вас, так сказать, спонтанно?
10. Занимаясь работой, которую вы намерены опубликовать, вы получаете некоторые промежуточные результаты. Формулируете ли вы сразу каждую часть работы? Или, напротив, записывая результаты в виде простых пометок, вы редактируете затем всю работу целиком?
11. Какое значение придаете вы изучению специальной математической литературы? Какой совет дали бы вы по этому поводу молодому математику, имеющему обычное классическое образование?
12. Прежде чем приступить к какому-либо вопросу, стараетесь ли вы сначала изучить работы, посвященные этой же теме?
13. Или, напротив, вы предпочитаете предоставить своему разуму полную свободу и лишь при последующем чтении соответствующей литературы устанавливаете, какая часть полученных вами результатов принадлежит вам?
14. Приступая к какому-нибудь вопросу, пытаетесь ли вы рассматривать поставленные проблемы наиболее общим способом? Или же вы предпочитаете рассматривать сначала частные случаи или случай упрощенный, постепенно их обобщая?
15. Различаете ли вы с методической точки зрения творческую и редакционную работу?
16. Считаете ли вы, что ваш стиль работы после окончания обучения остался по существу тем же самым?
17. В процессе работы над вашими основными исследованиями занимались ли вы непрерывно изучаемым вами вопросом или же прерывали эту работу, возвращаясь к данной теме позднее?
Если вы испробовали оба метода, то какой из них вам кажется лучше?
18. Какое на ваш взгляд минимальное время следует уделять математике в течение дня, недели, года, чтобы, имея и другие каж-
додневные занятия, математик смог бы плодотворно развивать некоторые ее ветви? Считаете ли Вы, что при возможности выбора наилучшим способом являются ежедневные, хотя бы кратковременные занятия, минимум по часу, например?
19а). Какие занятия или развлечения вы предпочитаете помимо изучения математики в часы вашего досуга, каковы ваши основные вкусы?
196). Считаете ли вы, что занятия живописью, литературой, музыкой или поэзией отвлекают от математического творчества, или, по-вашему, наоборот, они ему способствуют, давая отдых мозгу?
19в) Интересуетесь ли вы вопросами метафизического, этического или религиозного характера или, напротив, они вас отталкивают?
20. Если ваша служба занимает основное ваше время, то как вы ее сочетаете с личной научной работой?
21. Какие советы в заключение вы дадите:
а) молодому человеку, получающему математическое образование;
б) молодому математику, окончившему обычное обучение и желающему заниматься научной работой?
Вопросы, касающиеся образа жизни математика
22. Считаете ли вы полезным для математика придерживаться некоторого режима: диеты, определенных часов приема пищи, соблюдения интервалов?
23. Какую ежедневную продолжительность сна вы считаете нормальной?
24. Считаете ли вы, что занятия математикой в течение дня должны прерываться другими занятиями или физическими упражнениями, соответствующими возрасту и силам каждого?
25а). Считаете ли вы, напротив, что лучше сидеть за своей работой целый день, не отвлекаясь ничем, а последующие дни полностью отдыхать?
256). Бывают ли у вас периоды особенного увлечения работой и возбуждения, сменяющиеся затем периодами депрессии и неспособности работать?
25в), Замечали ли вы регулярность в смене таких периодов, и если да, то сколько дней продолжается у вас фаза активности и сколько — фаза инертности?
130
25г), Оказывают ли ощутимое влияние на вашу работоспособность окружающие вас физические и метеорологические условия (температура, свет и темнота, время года и т, д.)?
26. Какие физические упражнения вы делаете или делали для отвлечения от умственной работы? Какие из них вы предпочитаете?
27. Утром или вечером вы предпочитаете работать?
28. Используете ли вы время отпуска, если вы его берете, для занятий математикой (и в какой степени), или вы целиком посвящаете отпуск развлечениям и отдыху?
Заключительные замечания
Имеется, конечно, множество других деталей, которые было бы полезно выяснить с помощью анкеты: •
29а). Стоя, сидя или лежа легче работать?
б) пользуясь черной доской или бумагой?
в) в какой степени оказывает влияние внешний шум?
г) можно ли продолжать думать над проблемой во время прогулки, во время поездки по железной дороге?
д) влияние возбуждающих и успокаивающих средств: табака, кофе, алкоголя и т. д.— на количество и качество работы.
30. Было бы интересно, с психологической точки зрения, узнать, какого рода «внутренний язык» используют математики, являются ли их внутренние образы двигательными, слуховыми, визуальными или смешанными в зависимости от темы.
Если кто-нибудь, близко знавший одного из умерших математиков, мог бы сообщить некоторые сведения, отвечающие на часть вышеназванных вопросов, мы бы попросили их сделать это. Этим они бы внесли важный и полезный вклад в историю математики и ее развитие.
Добавление автора
Последний, 30-й вопрос имеет отношение к нашей дискуссии в гл. VI, и было бы особенно важно получить ответы по этому поводу. Эти ответы должны быть двух видов, относящихся соответственно к обычной мысли и к мысли исследовательской. Более того, было бы полезным прибавить к 30-му вопросу еще следующие:
31а). Присутствуют ли в процессе изобретения мысленные образы или слова, в сознании или в краевом сознании (в том смысле,
131
в каком оно было определено в книге Уолласа «Art of Thought»,
или под названием «Прихожая сознания» в книге Гальтопа «Inquiries into Human Faculty, стр. 203, издание 1883 г., и стр. 146, издание 1910 г.)?
316). Тот же вопрос относительно того, что эти представления или мысленные слова могут символизировать?1
1 Лишь несколько математиков ответили на вопросы (31а) и (316), в частности в связи с топологическими аргументами типа доказательства теоремы Жордаиа (см. гл. VII стр. 98). У всех без исключения геометрический аспект рассуждения является вполне сознательным. Один или двое из них чувствуют сразу же возможность выразить в аналитической форме любое звено этого рассуждения и даже способны немедленно найти этот перевод на аналитический язык (так что аналитическая форма доказательства должна находиться в краевом сознании); другим нужно приложить для этого большее или меньшее усилие.
Приложение II
ДРУГОЕ РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ УМАМИ: ВЗГЛЯД НА ОСНОВУ МОРАЛИ
В гл. VI мы установили существование двух различных видов умов: у представителей одного из них (например, у Макса Мюллера) мысль обязательно сопровождается словами, у представителей же другого вида (таких, как Гальтон) этот внутренний язык не является необходимым атрибутом мышления. Эти две категории людей оказались настолько взаимоисключающими, что , существование одной из них является для другой явлением трудно объяснимым.
Однако этот случай не является единственным, когда я мог заметить подобное разделение: оно существует и по поводу одного из самых основных,—если не самого основного—вопросов психической жизни человека, а именно, по вопросу об основе морали.
Впервые я обратил на это внимание во время бесед, которые я вел в Бордо с крупным философом Эмилем Дюркхеймом: он считал, что мораль может ri должна базироваться на научной основе. Я же считаю, что одна лишь научная основа не является достаточной для построения морали — мнеиие, которое Дюркхейм встретил фразой вроде следующей: «Вы увидите, он еще наговорит глупостей».
Тогда я не уделил этому мнению того внимания, которого оно заслуживало, но оно вновь проявилось в связи с моей статьей, посвященной моральной роли науки и идеям, высказанным по этому поводу нашим знаменитым Анри Пуанкаре. Эту статью я послал в один из журналов. Подчеркивая важную моральную роль науки для формирования и развития того высокого качества, которое называют научной честностью, Пуанкаре, тем не менее, отказался считать науку единственной основой морали, говоря, что в действительности речь идет о двух различных логических областях, о двух видах предложений, из которых одни формулируются в изъявительном наклонении, а другие — в повелительном. И Пуанкаре считал невозможным, исходя из того, что есть, и извлекая из этого все возможные следствия, объявлять то, что должно быть (т. е. то, что философы нашей эпохи называют «нормативными» предложениями).
133
«Желание вывести из посылок в изъявительном наклонении за* ключения в повелительном наклонении является принципиально] абсурдным», — заявил Пуанкаре.
Итак, когда я послал в журнал упомянутую выше статью, где| я рассматривал эти идеи Пуанкаре, представитель редакции жур-| нала попросил меня устранить как «катастрофическое» место, касающееся этого принципиального положения. Он объяснил, что редакция считает, «в противоположность мнению Пуанкаре, что отношения между наукой и моралью не могут содержать коренных разногласий. Если верно то, что наука изучает реальные факты, а мораль.; диктует правила поведения, то эти правила могут быть применимы'; лишь в том случае, когда они основаны на изучении человечества,-' т. е. базируются на психологических и социальных науках. Мораль^ подобна медицине, целью которой является осуществить идеальное] здоровье людей, но эта цель может быть достигнута лишь благодаря науке. Поскольку мораль ведет к идеалу человеческого существования, только психология и социология могут дать средства'1; для реализации этого идеала».
Я считаю первую часть этой последней фразы единственным! нормативным элементом, и именно с этим связано принципиальное! положение Пуанкаре, Это положение представляется абсурдныл тем, кто воспринимает последнюю фразу как единое целое, не раз-! личая двух элементов, ее составляющих. Оно кажется неизбежныи тем, кто проводит такое различие.
Таким образом, мы находимся в ситуации, совершенно подоб-: ной той, которая возникает в связи с вопросом об употреблении слой в процессе мышления; перед нами две категории умов, из которых одна отрицает то, что кажется очевидным для другой, и каждая считает другую безрассудной и взирает на нее с сожалением.
Кант ввел в философию понятие «априори» для обозначения того, что предшествует эксперименту и обусловливает его. Такая система априорных понятий лежит в основе всех тех идей, которыми мы обмениваемся между собой. Но надо, чтобы эти априорные понятия были общими для всех. Обычно так оно и бывает (без чего, очевидно, не существовало бы человеческого разума). Однако мы видим, что указанный принцип допускает по крайней мере одно исключение.
П рил ожение III'
А. Пуанкаре. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО
Генезис математического творчества является проблемой, которая должна вызывать живейший интерес у психолога, Кажется, что в этом процессе человеческий ум меньше всего заимствует из внешнего мира и действует, или только кажется действующим, лишь сам по себе и сам над собой. Поэтому, изучая процесс математической мысли, мы можем надеяться постичь нечто самое существенное в человеческом сознании.
Это было понято уже давно, и несколько месяцев назад журнал «Математическое образование», издаваемый Лезаном и Фэром, опубликовал вопросник, касающийся умственных привычек и методов работы различных математиков. К тому моменту, когда были опубликованы результаты этого опроса, мой доклад был в основном уже подготовлен, так что я практически не мог ими воспользоваться. Отмечу лишь, что большинство ответов подтвердило мои заключения; я не говорю об единогласии, так как при всеобщем опросе на него и нельзя надеяться.
Первый факт, который должен нас удивлять, или, вернее, должен был бы удивлять, если бы к нему не привыкли, следующий: как получается, что существуют люди, не понимающие математики? Если математики используют лишь логические правила, которые принимаются всеми разумными людьми; если математика основана на принципах, которые являются общими для всех людей и которые никто, не будучи сумасшедшим, не станет отрицать, то как получается, что есть люди, совершенно не приемлющие математики?
Тот факт, что не все способны на открытие, не содержит ничего таинственного. Можно понять еще и то, что не все могут запомнить доказательство, которое когда-то узнали. Но то обстоятельство, что не всякий человек может понять математическое рассуждение, когда ему его излагают, кажется совершенно удивительным. И тем не менее людей, которые лишь с большим трудом воспринимают эти рассуждения, большинство; это неоспоримо, и опыт учителя средней школы подтверждает это.
И далее, как возможна ошибка в математике? Нормальный разум не должен совершать логической ошибки, и тем не менее есть очень тонкие умы, которые не ошибутся в коротком рассуждении,
1 Добавлено в настоящем издании. — Прим. ред.
135
m
подобном тем, с которыми ему приходится сталкиваться в обыденной жизни и которые не способны провести или повторить без ошибки более длиньые математические доказательства, хотя в конечном счете последние являются совокупностью маленьких рассуждений, совершенно аналогичных тем, которые эти люди проводят так легко. Нужно ли прибавить, что и сами хорошие математики не являются непогрешимыми?
Ответ, как мне кажется, напрашивается сам собой. Представим себе длинный ряд силлогизмов, у которых заключения первых служат посылками следующих; мы способны уловить каждый из этих силлогизмов и в переходах от посылки к рассуждению мы не рискуем ошибиться. Но иной раз проходит много времени между моментом, когда некоторое предложение мы встречаем в качестве заключения силлогизма, й| моментом, когда мы вновь с ним встре-< тимся в качестве посылки другого силлогизма, когда много звеньев в цепи рассуждений, и может случиться, что предложение забыто или, что более серьезно, забыт его смысл. Таким образом, может случиться, что предложение заменяют другим, несколько от него отличным, или что его применяют в несколько ином смысле, и это приводит к ошибке.
Если математик должен воспользоваться некоторым правилом, естественно, он сначала его доказывает и в момент, когда это доказательство свежо в его памяти, он прекрасно понимает его смысл и пределы применения и поэтому не рискует его исказить. Но затем, доверяя своей памяти, он применяет его механически, и если память его подведет, то правило может быть применено неверно. В качестве простого и почти вульгарного примера можно привести тот факт, что мы часто ошибаемся в вычислении, так как забыли таблицу умножения.
С этой точки зрения математические способности должны были бы сводиться к очень надежной памяти или к безупречному вниманию. Это качество подобно способности игрока в вист запоминать сброшенные карты; или—на более высоком уровне—способности шахматиста, который должен рассмотреть большое число комбинаций и все их держать в памяти. Каждый хороший математик должен был бы быть одновременно хорошим шахматистом и обратно; точно так же он должен бы быть хорошим вычислителем. Действительно, так иногда случается и, например, Гаусс был одновременно гениальным геометром и рано проявившим себя очень хорошим вычислителем.
Но есть исключения, хотя я, пожалуй, не прав, называя это исключениями, так как иначе исключения оказались бы более многочисленными, чем правила. Напротив, это Гаусс был исключением.lL
Что касается меня, то я вынужден признать свою совершенную неспособность выполнить сложение без ошибки. Я был бы также очень плохим шахматистом; я мог бы хорошо рассчитать, что, совершив такой-то ход, я подвергся бы такой-то опасности; я рассмотрел бы много других ходов, которые я отбросил бы по другим причинам, и кончил бы тем, что совершил бы рассмотренный ход, забыв между делом об опасности, которую я раньше предвидел.
Одним словом, у меня неплохая память, но она недостаточна, чтобы сделать меня хорошим шахматистом. Почему же она меня не подводит в трудном математическом рассуждении? Это, очевидно, потому, что она руководствуется общей линией рассуждения. Математическое рассуждение не есть простая совокупность силлогизмов; это силлогизмы, помещенные в определенном порядке, и порядок, в котором эти элементы расположены, гораздо более важен, чем сами элементы. Если я чувствую этот порядок, так что вижу все рассуждение в целом, то мне не страшно забыть один из элементов: каждый из них встанет на место, которое ему приготовлено, причем без всякого усилия со стороны памяти. Когда я изучаю некоторое утверждение, мне кажется, что я мог бы сам его открыть, или, вернее, если это иллюзия и я недостаточно силен, чтобы открыть его, я переоткрываю его во время изучения.
Отсюда можно сделать вывод, что это интуитивное чувство математического порядка, которое позволяет нам угадать гармонию и скрытые соотношения, доступно не всем людям. Одни не способны к этому деликатному и трудному для определения чувству и не обладают памятью и вниманием сверх обычных; и они совершенно неспособны понимать серьезную математику; таковых большинство. Другие обладают этим чувством в малой степени, но они имеют хорошую память и способны на глубокое внимание. Они запомнят наизусть детали одну за другой, они смогут понять математику и иногда ее применять, но они неспособны творить. Наконец третьи в большей или меньшей степени обладают той специальной интуицией, о которой я говорил, и оии могут не только понимать математику, но и творить в ней и пытаться делать открытия с большим или меньшим успехом в зависимости от степени развития этой интуиции, несмотря на то, что их память не представляет собой ничего особенного.
Что же такое в действительности изобретение в математике? Оно состоит не в том, чтобы создавать новые комбинации из уже известных математических фактов. Это мог бы делать любой, но таких комбинаций было бы конечное число, и абсолютное большинство из них не представляло бы никакого интереса. Творить это означает не создавать бесполезных комбинаций, а создавать полез-
10-1467 137
ные, которых ничтожное меньшинство. Творить — это уметь распознавать, уметь выбирать.
Как делать этот выбор, я объяснял в другом месте: математические факты, которые заслуживают того, чтобы быть изученными,— это такие, которые по своей аналогии с другими фактами могут нас подвести к познанию математического закона, подобно тому, как экспериментальные факты подводят нас к познанию физического закона. Это такие факты, которые открывают нам связь между другими законами, известными уже давно, но ошибочно считавшимися не связанными друг с другом.
Среди выбранных комбинаций наиболее плодотворными часто оказываются те, которые составлены из элементов, взятых из очень далеких друг от друга областей. Я не хочу сказать, что для того, чтобы сделать открытие, достаточно сопоставить как можно более разношерстные факты; большинство комбинаций, образованных таким образом, было бы совершенно бесполезным, но зато некоторые из них, хотя и очень редко, бывают наиболее плодотворными из всех.
Я уже говорил, что изобретение — это выбор; впрочем, это слово, может быть, подобрано не совсем точно, — здесь приходит в голову сравнение с покупателем, которому предлагают большое количество образцов товаров, и он исследует их один за другим, чтобы сделать свой выбор. В математике образцы столь многочисленны, что всей жизни не хватит, чтобы их исследовать. Выбор происходит не таким образом. Бесплодные комбинации даже не придут в голову изобретателю. В поле зрения его сознания попадают лишь действительно полезные комбинации и некоторые другие, имеющие признаки полезных, которые он затем отбросит.
Все происходит так, как если бы ученый был экзаменатором второго тура, который должен экзаменовать лишь кандидатов, успешно прошедших испытания в первом туре. Но все то, что я до сих пор говорил, можно заметить или заключить, лишь достаточно вдумчиво вчитываясь в труды по математике.
Настало время продвинуться немного вперед и посмотреть, что же происходит в самой душе математика. Я полагаю, что лучшее, что можно для этого сделать, это привести собственные воспоминания. Я припомню и расскажу вам, как я написал первую свою работу об автоморфных функциях. Я прошу прощения за то, что буду вынужден употреблять специальные термины, но это не должно вас пугать, так как вам их понимать совсем необязательно. Я, например, скажу, что при таких-то обстоятельствах нашел | доказательство такой-то теоремы; эта теорема получит варварское I
138 J
название, которое многие из вас не поймут, но это не важно: для психолога важна не теорема, а обстоятельства.
В течение двух недель я пытался доказать, что не может существовать никакой функции, аналогичной той, которую я назвал впоследствии автоморфной. Я был, однако, совершенно неправ; каждый день я садился за рабочий стол, проводил за ним час или два, исследуя большое число комбинаций, и не приходил ни к какому результату.
Однажды вечером, вопреки своей привычке, я выпил черного кофе; я не мог заснуть; идеи теснились, я чувствовал, как они сталкиваются, пока две из них не соединились, чтобы образовать устойчивую комбинацию. К утру я установил существование одного класса этих функций, который соответствует гипергеометрическому ряду; мне оставалось лишь записать результаты, что заняло только несколько часов. Я хотел представить эти функции в виде отношения двух рядов и эта идея была совершенно сознательной и обдуманной; мной руководила аналогия с эллиптическими функциями. Я спрашивал себя, какими свойствами должны обладать эти ряды, если они существуют, и мне без труда удалось построить эти ряды, которые я назвал тета-автоморфными.
В этот момент я покинул Кан, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической экскурсии, организованной Горной школой. Перипетии этого путешествия заставили меня забыть о моей работе. Прибыв в Кутанс, мы сели в омнибус для какой-то прогулки; в момент, когда я встал на подножку, мне пришла в голову идея, без всяких, казалось бы, предшествовавших раздумий с моей стороны, идея о том, что преобразования, которые я использовал, чтобы определить автоморфные функции, были тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии. Из-за отсутствия времени я не сделал проверки, так как, с трудом сев в омнибус, я тотчас же продолжил начатый разговор, но я уже имел полную уверенность в правильности сделанного открытия, По возвращении в Кан я на свежую голову и для очистки совести проверил найденный результат.
В то время я занялся изучением некоторых вопросов теории чисел, не получая при этом никаких существенных результатов и не подозревая, что это может иметь малейшее отношение к прежним исследованиям. Разочарованный своими неудачами, я поехал провести несколько дней на берегу моря и думал совсем о другой вещи. Однажды, когда я прогуливался по берегу, мне так же внезапно, быстро и с той же мгновенной уверенностью пришла на ум мысль, что арифметические преобразования квадратичных форм тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии.
10* 139
Возвратившись в Кан, я думал над этим результатам, извле. кая из него следствия; пример квадратичных форм мне показал что существуют автоморфные группы, отличные от тех, которые соответствуют гипергеометрическому ряду; я увидел, что могу к ним применить теорию тета-автоморфных функций н что, следовательно, существуют автоморфные функции, отличающиеся от тех, которые соответствуют гипергеометрическому ряду — единственные, которые я знал до тех пор.
Естественно, я захотел построить все эти функции; я предпринял систематическую осаду и успешно брал одно за другим передовые укрепления. Оставалось, однако, еще одно, которое держалось и взятие которого означало бы падение всей крепости. Однако, сперва ценой всех моих усилий я добился лишь того, что лучше понял, в чем состоит трудность проблемы, и это уже кое-что значило. Вся эта работа была совершенно сознательной.
Затем я переехал в Мон-Валерьян, где я должен был продолжать военную службу. Таким образом, занятия у меня были весьма разнообразны. Однажды, во время прогулки по бульвару, мне вдруг пришло в голову решение этого трудного вопроса, который меня останавливал. Я не стал пытаться вникать в него немедленно и лишь после окончания службы вновь взялся за проблему. У меня были все элементы и мне оставалось лишь собрать их и привести в порядок. Поэтому я сразу и без всякого труда полностью написал эту работу.
Я ограничусь лишь этим одним примером. Бесполезно их умножать, так как относительно других моих исследований я мог бы рассказать вещи совершенно аналогичные и наблюдения, приводимые другими математиками в ответах на вопросы журнала «Математическое образование», только подтверждает мои1.
То, что вас удивит прежде всего, это видимость внутреннего озарения, являющаяся результатом длительной неосознанной работы; роль этой бессознательной работы в математическом изобретении мне кажется несомненной и ее следы можно найти и в других случаях, когда это менее очевидно. Часто, когда работают над трудным вопросом, с первого раза не удается ничего хорошего, затем наступает более или менее длительный период отдыха и потом снова принимаются за дело. В течение первого получаса дело вновь не двигается, а затем вдруг нужная идея приходит в голову. Можно было бы сказать, что сознательная работа стала более плодотворной, так как была прервана и отдых вернул уму его силу и свежесть. Но более вероятно предположить, что этот отдых был заполнен бессознательной работой и что результат
1 См. прим. ред. на стр. 147. ._ 140
i
1
этой работы внезапно явился математику точно так, как это было в случае, который я рассказывал; только озарение вместо того, чтобы произойти во время прогулки или путешествия происходит во время сознательной работы, но совершенно независимо от этой работы, которая, самое большее, играет роль связующего механизма, переводя результаты, полученные во время отдыха, но оставшиеся неосознанными, в осознанную форму.
Есть еще одно замечание по поводу условий этой бессознательной работы: она возможна или, по крайней мере, плодотворна лишь в том случае, когда ей предшествует и за ней следует сознательная работа. Приведенный мной пример подтверждает в достаточной мере, что эти внезапные вдохновения происходят лишь после нескольких дней сознательных усилий, которые казались абсолютно бесплодными, когда предполагаешь, что не сделано ничего хорошего и когда кажется, что выбран совершенно ошибочный путь. Эти усилия, однако, не являются бесполезными, как эхо думают; они пустили в ход бессознательную машину, без них о*а не пришла бы в действие и ничего бы не произвела.
I Необходимость второго периода сознательной работы после озарения еще более понятна. Нужно использовать результаты этого о|арения, вывести из них непосредственные следствия, привести в поридок, отредактировать доказательство. Но особенно необходимо их проверить. Я вам уже говорил о чувстве абсолютной уверенности, которое сопровождает озарение; в рассказанных случаях оно не было ошибочным и чаще всего так и бывает; но следует опасаться уверенности, что это правило без исключения; часто это чувство нас обманывает, не становясь при этом менее ярким, и заметить это можно лишь при попытке строго сознательно провести доказательство. Особенно я наблюдал такие факты в случае, когда идеи приходят в голову утром или вечером в постели, в полусознательном состоянии.
Таковы факты; рассмотрим теперь выводы, которые отсюда следуют. Как вытекает из предыдущего, или мое «бессознательное я» или, как это называют, мое подсознание, играет основную роль в математическом творчестве. Но обычно рассматривают подсознательные процессы как явления, чисто автоматические. Мы видим, что работа математика не является просто механической и ее нельзя было бы доверить машине, сколь бы совершенной она ни была. Здесь дело не только в том, чтобы применять правила и создавать как можно больше комбинаций по некоторым известным чаконам. Комбинации, полученные таким образом, были бы слишком многочисленными, громоздкими и бесполезными. Истинная работа ученого состоит в выборе этих комбинаций, так чтобы исключить
141
бесполезные или, вернее, даже не утруждать себя их созданием И правила которыми нужно руководствоваться при этом выборе, предельно деликатны и тонки, их почти невозможно выразить точ-ными словами; они легче чувствуются, чем формулируются; как можно при таких условиях представить себе аппарат, который „х применяет автоматически?
Отсюда перед нами возникает первый вопрос: «Я - подсозиа-тельное, нисколько не является низшим по отношению к «я-сознательному», оно не является чисто автоматическим, оио способно здраво судить, оно имеет чувство меры и чувствительность, оио умеет выбирать и догадываться. Да что говорить, оно умеет дога-даваться лучше, чем мое сознание, так как преуспевает там, где со-
знание этого не может.
Короче ие стоят ли мои бессознательные процессы выше чем мое сознание? Вы понимаете важность моего вопроса. Э. Бутру ;°м показал в докладе, сделанном здесь же два месяца назад, как этот вопрос возникает при совершенно других обстоятельствах „ какие следствия вытекают из утвердительного ответа. Не вытекает ли такой утвердительный ответ из фактов, которые я только что вам изложил? Я утверждаю, что не могу с этим согласиться. Итак «yeM еще раз факты и посмотрим, не содержат ли они
ДРУГсо—"что комбинации, приходящие „а ум в виде вне-запиого озарения после достаточно длительной бессознательной работы обычно полезны и глубоки, как будто они прошли уже „ рвТй отбо Значит ли это, что подсознание образовало только и комбинации, интуитивно, догадываясь, что лишь они полезны, или оно образовало и многие другие, которые были лишены „нте-^о^а и питались неосознанными?
Р Поиэтой второй точке зрения все комбинации формируются
механизмом подсознания, но в поле зрения сознания попадают
лишь представляющие интерес. Но и это еще очень непонятна
Каковы причины того, что среди тысяч результатов деятельности
р л подсознания есть лишь некоторые, которые призваны пере-
„ашего подсознаНИЯое мя как все Пр0Ч„е остаются по ту сторо-
Zb He° пТто и сл/чаГдает им эту привилегию? Конечно пет.
К нр"1еру среди всех ощущений, действующих „а наши органы
/"только самые интенсивные обращают на себя наше вннма-
чувств, только, самы в11има„„е не обращено на них по
""'Г пр м ее общем случае среди бессознательных
Дру им при — в способными стать сознательными,
ГяюГ™^рТпТямо или косвенно наиболее глубоко воз-
действуют на наши чувства.
142
Может вызвать удивление обращение к чувствам, когда речь идет о математических доказательствах, которые, казалось бы, связаны только с умом. Но это означало бы, что мы забываем о чувстве математической красоты, чувстве гармонии чисел и форм, геометрической выразительности. Это настоящее эстетическое чувство, знакомое всем настоящим математикам. Воистину, здесь налицо чувство!
Но каковы математические характеристики, которым мы приписываем свойства красоты и изящества и которые способны возбудить в нас своего рода эстетическое чувство? Это те, элементы которые гармонически расположены таким образом, что ум без усилия может их охватывать целиком, угадывая детали. Эта гармония служит одновременно удовлетворением наших эстетических чувств и помощью для ума, она его поддерживает и ею он руководствуется. Эта гармония дает нам возможность предчувствовать математический закон. Итак, как это было сказано выше, единственными фактами, способными обратить на себя наше внимание и быть полезными, являются те, которые подводят нас к познанию математического закона. Таким образом, мы приходим к следующему выводу: полезные комбинации это в точности наиболее красивые, т. е. те, которые больше всего воздействуют на это специальное чувство математичекой красоты, известное всем математикам и недоступное профанам до такой степени, что они часто склонны смеяться над ним.
Что же, таким образом, происходит? Среди многочисленных комбинаций, образованных нашим подсознанием, большинство безынтересно п бесполезно, но потому оии и не способны подействовать на наше эстетическое чувство; оии никогда не будут нами осознаны; только некоторые являются гармоничными и потому одновременно красивыми и полезными; они способны возбудить нашу специальную геометрическую интуицию, которая привлечет к ним наше внимание и таким образом даст им возможность стать осознанными.
Это только гипотеза, но есть наблюдение, которое ее подтверждает: внезапное озарение, происходящее в уме математика, почти никогда его не обманывает, но иногда случается, что оно не выдерживает проверки, и тем не менее почти всегда замечают, что если бы эта ложная идея оказалась верной, то она удовлетворила бы наше естественное чувство математического изящества.
Таким образом, это специальное эстетическое чувство играет роль решета, и этим объясняется, почему тот, кто лишен его, никогда не станет настоящим изобретателем.
ИЗ
Однако, преодолены не все трудности; ясно, что пределы сознания очень узки, а что касается подсознания, то его пределов мы не знаем и потому не слишком возражаем против предположе ния, что оно может образовать в короткое время столько комби-наций, сколько сознательное существо не смогло бы рассмотреть за всю жизнь. Эти пределы тем не менее существуют, ио правдоподобно предположить, что подсознание могло бы образовать все возможные комбинации, число которых испугало бы воображение и это кажется и необходимым, так как если бы оно образовывало их мало и делало бы это случайным образом, то маловероятно чтобы «хорошая» комбинация, которую надо выбрать, находилась среди них.
Для объяснения надо учесть первоначальный период сознательной работы, который предшествует плодотворной бессознательной работе. Прошу извинить меня за следующее грубое сравнение. Представим себе будущие элементы наших комбинаций как что-то похожее на атомы — крючочки Эпикура. Во время полного отдыха мозга эти атомы неподвижны, они как будто прикреплены к стене; этот полный отдых может продолжаться неопределенное время, атомы при этом не встречаются и, следовательно, никакое их сочетание не может осуществиться. Во время же кажущегося отдыха и-бессознательной работы некоторые из них оказываются отделенными от стены и приведенными в движение. Они перемещаются во всех направлениях пространства, вернее,— помещения, где оии заперты, так же, как туча мошек или, если вы предпочитаете более ученое сравнение, как газовые молекулы в кинетической теории газов. При взаимном столкновении могут появиться новые комбинации.
Какова же роль первоначальной сознательной работы? Она состоит, очевидно, в том, чтобы мобилизовать некоторые атомы, отделить их от стены и привести в движение. Считают, что не сделано ничего хорошего, так как эти элементы передвигали тысячами разных способов с целью иайти возможность их сочетать, а удовлетворительной комбинации найти не удалось. Но после того импульса, который им был сообщен по нашей воле, атомы больше не возвращаются в свое первоначальное неподвижное состояние. Они свободно продолжают свой танец.
Но наша воля выбирала их не случайным образом, цель была вполне определена; выбранные атомы были не первые попавшиеся, а те, от которых разумно ожидать искомого решения. Атомы, приведенные в движение, начинают испытывать соударения и, следовательно, образовывать сочетания друг с другом или с теми атомами, которые ранее были неподвижны и были задеты при их движении. Я еще раз прошу у вас извинения за грубость сравн?-
144
пня, но я не знаю другого способа, для того чтобы объяснить свою мысль.
Как бы то ни было, у созданных комбинаций хотя бы одним
из элементов служит атом, выбранный по нашей воле. И очевидно,
что среди них находятся те комбинации, которые я только что
назвал «хорошими». Может быть, в этом содержится возможность
• уменьшить парадоксальность первоначальной гипотезы.
Другое наблюдение. Никогда не бывает, чтобы результатом бессознательной работы было полностью проведенное и достаточно длинное вычисление, даже если его правила заранее установлены. Казалось бы, подсознание должно быть особенно расположено к совершенно механической работе. Если, например, вечером подумать о сомножителях, то можно было бы надеяться, что при пробуждении будешь знать произведение или что алгебраическое вычисление, например проверка, могло бы производиться бессознательно. Но опыт опровергает это предположение. Единственное, что получаешь при озарении, являющимся результатом бессознательной работы, это отправные точки для подобных вычислений; что касается самих вычислений, то их надо производить во время второго периода сознательной работы, следующего за озарением; тогда проверяют результаты и выводят из них следствия. Правила вычислений строги и сложны, они требуют дисциплины, внимания и воли и, следовательно, сознания. В подсознании же царит, напротив, то, что я называю свободой, если можно назвать этим словом простое отсутствие дисциплины и беспорядок, рожденный случаем. Но только этот беспорядок рождает неожиданные комбинации.
Я сделаю последнее замечание; когда я выше излагал вам некоторые личные наблюдения, я говорил о бессонной ночи, во время которой я работал как бы против своей волн; такие случаи часты и необязательно, чтобы причиной такой ненормальной мозговой активности было физическое возбуждение, как было в случае, о котором я говорил. Кажется, что в этих случаях присутствуешь при своей собственной бессознательной работе, которая стала частично ощутимой для сверхвозбуждеиного сознания и которая не изменила из-за этого своей природы. При этом начинаешь смутно различать два механизма или, если угодно, два метода работы этих двух «я». И психологические наблюдения, которые я мог при этом сделать, как мне кажется, подтверждают в основных чертах те взгляды, которые я вам здесь изложил.
Эти взгляды несомненно нуждаются в проверке, так как несмотря ни на что остаются гипотетичными; вопрос, однако, столь ^интересен, что я ие раскаиваюсь в том, что изложил их вам.
Примечания редактора
[1], к стр. 19. — Для читателя будет небезынтересно познаю] миться с этими высказываниями Гельмгольца. В своей речи пр| получении медали имени знаменитого окулиста Грефе Гельмгольц сказал следующее:
«Я могу сравнить себя с путником, который предпринял восхождение на гору, не зная дороги; долго и с трудом взбирается он, часто вынужден возвращаться назад, ибо дальше нет прохода. То размышление, то случай открывают ему новые тропинки, они ведут его несколько далее, и, наконец, когда цель достигнута, он, к своему стыду, находит широкую дорогу, по которой мог бы подняться, если бы умел верно отыскать начало. В своих статьях я, конечно, ие за нимал читателя рассказом о таких блужданиях, описывая только то| проторенный путь, по которому он может теперь без труда взойт! на вершину... Признаюсь, как предмет работы, мне всегда был! приятнее те области, где ие имеешь надобности рассчитывать и| помощь случая или счастливой мысли.
Но, попадая довольно часто в такое неприятное положение! когда приходится ждать таких проблесков, я приобрел иекоторы! опыт насчет того, когда и где они мие являлись, — опыт, которьп) может пригодиться другим.
Эти счастливые наития нередко вторгаются в голову так тихс что не сразу заметишь их значение, иной раз только случайности укажет впоследствии, когда и при каких обстоятельствах они про! ходили: появляется мысль в голове, а откуда она — ие знаешь сам!
Но в других случаях мысль осеняет иас внезапно, без усилия| как вдохновение.
Насколько могу судить по личному опыту, она никогда Hd рождается в усталом мозгу и никогда за письменным столом. Каж! дый раз мне приходилось сперва всячески переворачивать мою за-1 дачу на все лады, так, что все ее изгибы и сплетения залегли проч-1 но в голове и могли быть снова пройдены наизусть, без помощи письма.
Дойти до этого обычно невозможно без долгой продолжитель-| ной работы. Затем, когда прошло наступившее утомление, требо-1 вался часок полной телесной свежести и чувства спокойного благо-|
146
|состояния — и только тогда приходили хорошие идеи. Часто... они шлялись утром, при пробуждении, как замечал и Гаусс.
Особенно охотно приходили они... в часы неторопливого подъе-
| ма по лесистым горам, в солнечный день. Малейшее количество спиртного напитка как бы отпугивало их прочь» '.
[2], к стр. 140 «Исследования по теории автоморфных функций, о
| которых здесь говорит Пуанкаре, он вел в творческом соревновании крупным немецким математиком Феликсом Клейном. Позже, чем
'Пуанкаре, в 1915 или 1916 гг., читая курс лекций по истории математики XIX века, Клейн тоже рассказал о ходе своих работ, и этот рассказ имеет немало общего с описанием Пуанкаре. Приведем !десь соответствующий отрывок, вошедший в книгу Клейна «Развитие математики в XIX в.»2.
«Осень 1881 г. я провел для лечения у Северного моря... Следуя тогдашним рекомендациям врачей, я решил в пасхальные каникулы 1882 г. снова отправиться к Северному морю, в Нордерней. Я хотел там, в спокойной обстановке, написать вторую часть своей работы, связанной с идеями Римана... Но я выдержал только 8 дней, так как существовать было трудно: мощные штормы не давали выходить из дому, и у меня началась сильная астма. Я решил поскорее уехать на родину, в Дюссельдорф. В последнюю ночь, с 22 на 23 марта, которую я из-за астмы проводил сидя на диване, внезапно в полтретьего передо мною возникла основная теорема такой, какой я ее уже собственно раньше представлял себе с помощью чертежа четырнадцатиугольника в XIV томе журнала Mathematische Annalen- На следующее утро в почтовой карете, в которой тогда надо было ехать из Нордена в Эмден, я еще раз во всех деталях продумал то, что нашел. Теперь я знал, что имею большую теорему. Приехав в Дюссельдорф, я все сразу записал [напечатано в Mathematische Annalen, т. 20, 1882 г., стр. 49—51], датировал 27 марта, послал это издателю, а корректуры распорядился направить Пуанкаре и Шварцу...».
1 Цит. по книге: А. В. Лебединский, У. И. Франкфурт, А. М. Франк, Гельмгольц, М., 1966, стр. 131—132.
2 См. там 3-ю часть: «Теория функций с 1850 до 1900 г.» Читателя и здесь не должны смущать специальные термины.
Послесловие щ
Автор этого единственного в своем роде произведения прожил долгую и плодотворную жизнь.
Жак-Соломон Адамар родился в Версале в 1865 г. Его блестящие и разносторонние способности проявились рано. На вступительных экзаменах в Политехническую школу в Париже он поставил рекорд, набрав большее число баллов, чем кто-либо из экзаменовавшихся туда до него'. По окончании Политехнической школы Адамар посвятил себя математике и вскоре сделал ряд крупных открытий. Наибольшую славу, пожалуй, принесло ему доказательство (одновременно с бельгийским математиком Де ла Валле-Пус-сеном) асимптотического закона распределения простых чисел (1896 г.). С 1900 года Адамар — профессор Парижского университета, позже он преподавал также в Политехнической школе и читал лекции во Французском колледже (College de France). В 1912 г. он был избран в Парижскую Академию наук.
Ведя интенсивную работу в области математики, Адамар принимал участие и в общественной жизни своей страны. Он был другом Советского Союза, несколько раз был гостем советских математиков, в годы после второй мировой зойны, несмотря на преклонный возраст, принимал участие в движении сторонников мира. Умер Адамар в Париже в 1963 г.
Ввиду угрозы немецкой оккупации Адамар был вынужден в 1940 г. уехать в США. Там в 1945 г. впервые была издана на английском языке его книга о психологии научного, прежде всего математического, творчества. Наш перевод сделан с французского издания 1959 г., которое автор просмотрел и расширил.
С тех пор, как была написана книга Адамара, интерес к рассматриваемым в ней проблемам неуклонно возрастал. Еще быстрее росла литература, преимущественно в виде журнальных статей, по психологии научного творчества. И все-таки книга Адамара остается и на сегодня явлением уникальным благодаря широте подхода ее автора и ценности использованных в ней материалов, в том числе фактов из иаучиой практики самого Адамара.
1 Оценки иа этих экзаменах весьма дифференцированны, даются по стобалльной системе по двадцати предметам. Адамар набрал около 1900 баллов.
148
Адамар много раз обращается в своей книге к небольшому, но включительно ценному этюду Анри Пуанкаре (1854—1912 гг.), знаменитого французского математика, механика, физика. Было естественно дать этот этюд здесь полностью, в виде приложения.
Вряд ли надо доказывать, что, учитывая характер и недостаточную разработанность сложных вопросов психологии творчества, в частности научного, к взглядам и выводам Адамара и Пуанкаре ппдо отнестись критически. Это не последнее, а почти что первое слово науки в этой трудной, но увлекательной области. И то, как подходят к анализу ее проблем два крупных математика, поучи-\сльио, интересно и может служить отправным пунктом для дальнейших исследований.
И. Погребысский
Именной указатель
Абеляр 65
Августин 31
Адамар Жак Соломон 3, 57,
104, 108, 131, 148, 149 Ампер 57, 124 Антелл Джеймс 70 Аппель 15 Аристотель 41, 68 Асгейрсон 52 Баль Юлиус 85 Бергсон 5 Беркли 66, 88 Бернар Клод 48, 51 Бернулли Иоганн 120 Бернулли Яков 120 Бертран Жозеф 103 Бетховен 5 Бинэ Альфред 58, 63, 68—71,
74, 75, 85 Биркгофф Джордж 79 Блок Андре 51 Больцман 15 Боэр Э. 6 Бриан Аристид 86 Б р юкке 49 Буало 67
Бутру Пьер 76, 83 Бутру Э. 40, 41 Бюлер 69 Бюффон 44
Валери Поль 6, 14, 21, 32, 56, 58 Валлнс 57 Варендонк 70, 93 Вейерштрасс 102, 104, 105, 113,
114 Вертгеймер Макс 80, 81 Виктор Анри 75 Винер Н. 79, 114 Винтер 84 Вольтерр 120 Вудвортс 35, 37, 40, 70 Галилей Г. 10, 126 Галль 9, 11, 125 Галуа Э. 16, 107, 111—113 Гальтон Френсис 9, 27, 66, 70,
79, 91, 94, 126, 132, 133, 72 Гаманн 89, 90 Гамильтон Уильям 72, 78 Гартман фон 42 Гаусс 10, 57, 103, 136 Гегель 65
т
Гельмгольц Грефе 19, 35—37
39, 45, 49. 55, 148, 149 Гердер 64
Гершель Вильям 10 Гете 89
Гийом Поль 26 Гильберт 52, 84, 97, 98 Гоббс 65 Гумбольдт 65 де Гурмоп, Реми 21 Ле-Дантек 7 Дарбу 15 Дарвин 90 Двельшауверс 53, 70 Декарт 11, 65, 76, 83, 84 Делакруа Анри 5, 44, 63, 70,
92, 107 Desdouits 24 Диксон Леонард 12 Дирихле 51 Джеймс Уильям 7, 28, 40, 41
81, 91 Джон 52 Дону 14
Драш Жюль 15, 16 Дуглас Джесси 79, 82, 90, т! Dumas G. 5 Дюгем 101, 119 Дюркхейм Эмнль 133 Евклид 52 Жанэ Пьер 25 Жордан 97, 98, 132 Иенсен 50 Кант 65, 89 Кантор Георг 60, 88 Кардано 114, 115, 126 Картан Эли 120 Келер 64, 65 Кеплер 59, 116 Клапаред 6, 13, 15, 16, 23
116, 49 Клейн Ф. 84, 97, 100—102, 10.
126, 149 Колумб 4 Коши 52, 102 Кронекер 88 Купман 82 Курант 52 Лагранж. 105 Ламартин 21, 57
Лзнжевен go.
Дапик Луи 74, 75
Лебег 88
Лебединский А. В. 149
Лежандр 111, 112
Леви-Сильвен 118
Леви-Стросс 86
Леви-Чивит 51
Лейбниц 11, 41, 24, 65, 89, 91, 120
Леонард Гютри 9
Леонардо да Винчи 126
Ли Софус 108
Локк 65, 89, 91
Ломброзо 126
Лопнталь 120
Лоренц 51
Лотце 87
Луи де Бройль 6
Майе 12, 13, 15
Майер Андре 86
Майерс 41
Мёбиус 9—11, 57
Мейерсон 107 ! Мечников 5
|. Милль Джон Стюарт 66, 91 ( Моцарт В. 20, 33, 35, 63, 120,
121 I Мюллер Макс 31, 64—67, 69, ' 72, 79, 87—90, 133
Николь Шарль 22, 47
Ньютон И. 11, 44, 56, 59, 60, 116, 120
Оствальд 20
Паскаль 52, 95
Патрик Катрин 21, 35, 38
Перрен Жан 87
Перрен Франсис 87
Пикар 15, 50
Плятт 37
Погребысский И. Б. 146
Пойя Г. 81, 82, 90
Полян Ф. 11, 12, 20, 47
Помпилий Нума 114, 115
Пуанкаре А. 3, 6, 9, 16—19, 22, 23, 28, 31—41, 43—47, 53, 55—57, 59, 60, 74, 98—100. 102—107, 111, 113, 114, 133— 135, 147, 149
Пэплеве Поль 10, 15
Рамзо П7
Расин 5
Рассел Бертран 121
Релей 117
Ренан Эрнест 118
Рибо 82, 87, 89
Риман 48, 50, 102, 104, 110, 118,
119, 149 де ля Рив 49 Рнччи 51 Роден 63 Rossman 34 Сидгвик 85, 87 Scripture 58 Сократ 114, 115 Спенсер Герберт 30, 95 Стенли 82 Стерлинг 36 Поль Сурье 5, И, 12, 22, 47,
53, 62, 123 Типл 37
Титченер 7, 70, 92, 93 Торричелли 4
Тэн И. 29, 68, 69, 93, 125—127 Уатт 77 Уоллас Грэхем 20, 28, 39, 40,
121, 123, 132 Уотсон 8 Фаге Эмиль 43 Ферма П. 109, ПО Ферроль 57, 58 Фихте 41
Франклин Бенджамен 4 Франкфурт У. И. 149 Фредгольм 51, 120 Фрейд 29 Фридрихе К. 36 Фуйе Альберт 25, 30, 91 Фурнуа 13, 15, 16 Харди 124
Хаусман А. Е. 21, 35 Челлини Бенвенуто 126 Шеллинг 41 Шопенгауэр 65, 72 Эйлер 72 Эпгр 63
Эйнштейн 51, 79, 80 81 Эрмит 5, 14, 15, 102, 103 104,
106, 112, 113, 118, 119 Якобсон Роман 86, 92
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие автора к французскому изданию .... 3
Введение .............. 4
ГЛАВА I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И АНКЕТЫ..... 7
ГЛАВА II. ДИСКУССИЯ О «БЕССОЗНАТЕЛЬНОМ» .... 24
ГЛАВА III. БЕССОЗНАТЕЛЬНОЕ И ОТКРЫТИЕ . . . - . 31
ГЛАВА IV. ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ СТАДИЯ. ЛОГИКА И
СЛУЧАЙ............ 43
ГЛАВА V. ДАЛЬНЕЙШАЯ СОЗНАТЕЛЬНАЯ РАБОТА . 55
ГЛАВА VI. ОТКРЫТИЕ КАК СИНТЕЗ. ПОМОЩЬ ЗНАКОВ 62
ГЛАВА VII. РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ УМОВ 95
Г Л А В А VIII. ПАРАДОКСАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ ИНТУИЦИИ . . 109
I Л А В А IX. ОБЩЕЕ НАПРАВЛЕНИЕ. ДАННОЕ ИССЛЕДОВАНИЮ ............. ПО
Заключительные замечания......... 125
Приложение I. Анкета о методах работы, математиков 128
Приложение II. Другое различие между умами: взгляд
на основу морали.......... 133
Приложение III. А. Пуанкаре. Математическое творчество 135
Примечание редактора........ 146
Послесловие......... . . 148 -,
Именной указатель........... 150J
ЖАК АДАМАР
ИССЛЕДОВАНИЕ ПСИХОЛОГИИ ПРОЦЕССА ИЗОБРЕТЕНИЯ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ
Под редакцией И. Б. Погребысского
Обложка художника Л. Г. Ларского
Художественный редактор В. Т. Сидоренко
Технический редактор Г. 3. Шалимова
Корректор Н. М. Давыдова, М. Ф. Белякова._________________
Сдано в набор 22/1-70 г. Подписано в печать 12/XI-70] Формат 84X108'/з2 Бумага типографская № 2 1
Объем 7,98 усл. п. л. Уч.-изд. л. 8,333. Тираж 30 000 экз. Зак. 14| Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт. п/я 693.______________Цена 58 коп.__________________________
Московская типография № 10 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР Москва, Шлюзовая наб., д. 10