Операции с матрицами

Матрица задается как список списков элементов строк. Для представления списка в традиционной матричной форме используется функция MatrixForm. Процедура Det позволяет вычислять определитель. С помощью функции Dot находится произведение матриц и векторов, но можно использовать и символ . (точка). Inverse находит обратную матрицу, а Transpose используется для транспонирования матрицы (превращения каждой строки в столбец с тем же номером).

Для решения систем линейных уравнений можно использовать функцию LinearSolve или матричный метод, при котором матрица X, содержащая значения неизвестных, находится по формуле X = A^-1· B, где · означает операцию умножения матриц.

Пример

Используем указанные способы при решении следующей системы уравнений:

Итак, решением данной системы является тройка {-1, 2.5, 1.5}.

Задания

1. Найдите произведение матриц A и B, где ,

2. Транспонируйте матрицу B и найдите ее определитель.

Логические выражения

Программа Mathematica способна оперировать логическими выражениями. Константы True и False используются для обозначений истинного и ложного утверждений. Кроме констант логические выражения содержат переменные, соединенные следующими связками: And (&&, конъюнкция), Or (||, дизъюнкция), Not (!, логическое отрицание). Импликация задается функцией Implies или символом из палитры BasicInput. Функция LogicalExpand осуществляет упрощение логических выражений.

Пример

Определим значение логического выражения !(x>z) && !(x=y), если x=3, y=5, z=2

Задание

Получите законы дополнения ( !(!a) = a), идемпотентности (a && a = a; a || a = a) и поглощения (a && (a || b) = a) при помощи функции LogicalExpand.

Система символьной математики Maxima

Maxima - еще одна программа для выполнения математических вычислений, символьных преобразований, а также построения разнообразных графиков. Сложные вычисления оформляются в виде отдельных процедур, которые затем могут быть использованы при решении других задач. Система Maxima распространяется под лицензией GPL и доступна как пользователям ОС Linux, так и пользователям MS Windows.

Для работы с данной системой в ОС Linux следует в окне shell набрать команду maxima или xmaxima для запуска ее графической оболочки. Другим удобным инструментом для работы с системой Maxima является программа texmacs. На панели инструментов этой программы располагается кнопка с изображением монитора, нажатиe на которую открывает меню выбора интерактивной сессии. Выбор пункта maxima позволит начать сеанс работы с этой программой.

увеличить изображение

При отображении результатов вычислений эта оболочка использует стандартные математические обозначения, в то время как xmaxima или maxima - только символы из таблицы ASCII-кодов.

При старте выводится некоторая информация о системе и "метка" (C1). Каждый ввод и вывод помечаются системой и затем могут быть использованы снова. Символ C (от command) используется для обозначения команд, введенных пользователем, а D (от display) - при выводе результатов вычислений.

Для инициализации процесса вычислений следует ввести команду, затем символ ; (точка с запятой) и нажать клавишу Enter. Если не требуется вывод полученной информации на экран, то вместо точки с запятой используется символ $. Обратиться к результату последней команды можно с помощью символа %. Для повтора ранее введенной команды, скажем (C2), достаточно ввести два апострофа и затем метку требуемой команды, например, "C2.

Система Maxima не обращает внимание на регистр введенных символов в именах встроенных констант и фунций. Запись sin(x) эквивалентна записи SIN(x), но при выводе результатов в текстовом режиме используются заглавные буквы. Регистр букв, однако, важен при использовании переменных, например, Maxima считает x и X разными переменными.

Для стандартных математических констант используются следующие обозначения: %e (или %E) для основания натуральных логарифмов, %i (%I) для мнимой единицы (квадратный корень из числа -1) и %pi (%PI) для числа .

Присваивание значения какой-либо переменной осуществляется с помощью знака : (двоеточие), а символ = (равно) используется при задании уравнений или подстановок.

(C1) x:2;
(D1)	2
(C2) y:3;
(D2)	3
(C3) x + y;
(D3)	5

Функция kill аннулирует присвоенные ранее значения переменных. Параметр all этой функции приводит к удалению значения всех переменных, включая метки Ci и Di.

(C8) kill(x);
(D8)	DONE
(C9) x + y;
(D9)	x + 3
(C10) kill(all);
(D0)	DONE
(C1) x + y;
(D1)	y + x

Для завершения работы с системой применяется функция quit();, а прерывание процесса вычислений осуществляется путем нажатия комбинации клавиш Ctrl+c (после чего следует ввести :q для возврата в обычный режим работы).

Справка о той или иной функции выводится по команде describe(имя функции). При работе в графической оболочке XMaxima, можно воспользоваться пунктом меню help. Процедура example(имя функции) демонстрирует примеры использования функции.