Матричные вычисления

Maxima позволяет легко манипулировать матрицами. В следующем примере задаются две матрицы, которые затем складываются (+) и перемножаются (.):

(C1) A:matrix([1,2],[3,4]);

[ 1 2 ]

(D1) [ ]

[ 3 4 ]

(C2) B:matrix([1,1],[1,1]);

[ 1 1 ]

(D2) [ ]

[ 1 1 ]

(C3) A + B;

[ 2 3 ]

(D3) [ ]

[ 4 5 ]

(C4) A . B;

[ 3 3 ]

(D4) [ ]

[ 7 7 ]

Функция determinant вычисляет определитель матрицы.

(C5) determinant(A);

(D5) - 2

(C6) determinant(matrix([a,b],[c,d]));

(D6) a d - b c

Транспонирование матрицы осуществляется функцией transpose.

(C7) transpose(A);

[ 1 3 ]

(D7) [ ]

[ 2 4 ]

Для получению обратной матрицы используется операция ^^-1 или функция invert.

(C8) A^^-1;

[ - 2 1 ]

[ ]

(D8) [ 3 1 ]

[ - - - ]

[ 2 2 ]

(C9) invert(A);

[ - 2 1 ]

[ ]

(D9) [ 3 1 ]

[ - - - ]

[ 2 2 ]

Как известно, каждый элемент b^ij обратной матрицы B = A^-1 получается делением алгебраического дополнения A^ij соответствующего элемента исходной матрицы на ее определитель |A|. Для того чтобы вынести 1/|A| в качестве сомножителя применяется функция detout.

(C10) invert(A), detout;

[ 4 - 2 ]

[ ]

[ - 3 1 ]

(D10) - ------------

2

Убедимся в правильности полученного результата, умножив A на обратную к ней матрицу:

(C11) A . d9;

[ 1 0 ]

(D11) [ ]

[ 0 1 ]

Будьте внимательны: в результате выполнения операции ^-1 получится матрица, каждый элемент которой обратен элементу исходной, а не обратная матрица.

(C12) A^-1;

[ 1 ]

[ 1 - ]

[ 2 ]

(D12) [ ]

[ 1 1 ]

[ - - ]

[ 3 4 ]

Использование матриц позволяет легко решать системы линейных уравнений с несколькими переменными. Пусть A - матрица коэффициентов системы, X - матрица неизвестных, B - матрица свободных членов системы. Тогда матрица X находится по формуле X = A -1 . B, где операция . означает матричное умножение.

Пример

Решим следующую систему уравнений матричным способом.

Сначала заполним соответствующие матрицы, а затем получим матрицу результатов:

(C14) A:matrix([1, 2, 1], [2, 1, 1], [1, 3, 1]);

[ 1 2 1 ]

[ ]

(D14) [ 2 1 1 ]

[ ]

[ 1 3 1 ]

(C15) B:matrix([0, 1, 0]);

(D15) [ 0 1 0 ]

(C16) (A^^-1).B;

[ 1 ]

[ ]

(D16) [ 0 ]

[ ]

[ - 1 ]

Задания

1. Вычислите произведение матриц A.B и B.A, где

2. Найдите определители матриц C и D

3. Для матрицы D найдите обратную, после чего проверьте, что в результате их произведения получается единичная матрица.

4. Решите следующую систему уравнений матричным способом