5.2 Частные производные функции двух переменных

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки . Придадим переменной малое приращение , оставив значение переменной неизменным, т.е. перейдем на плоскости от точки к точке . Приращение, которое получит функция

(5.1)

называется частным приращением функции по переменной в точке . Аналогично определяется частное приращение функции по переменной :

.

(5.2)

Определение 5.1

Предел отношения приращений

(5.3)

называется частной производной функции по переменной и обозначается символом .

Аналогично, предел

(5.4)

называется частной производной функции по переменной и обозначается символом .

Частные производные, как и обычные, обозначают так же штрихом, при этом указывают, по какой переменной вычисляется производная:

, , , .

(5.5)

Из определений частных производных (5.3), (5.4) и определения обычной производной ( ) следует, что частные производные по одной из переменных вычисляются по тем же формулам и правилам, что и обычные производные, при этом остальные переменные рассматриваются как постоянные.

Пример 5.1

Найти частные производные функции .

Найдем . В данном случае будем считать постоянной. Следовательно, и постоянная величина, которая выносится за знак производной: . Найдем . В данном случае будем считать постоянной. Следовательно, и постоянная величина, которая выносится за знак производной: ..

Пример 5.2

г = х² + у², то = 2x, =2у.

Пример 5.2

, тогда , .

5.3. Дифференциал функции двух переменных

Пусть функ­ция z = f(x, у) имеет непрерывные производные и . Произведение x называют частным дифференциалом по x функции z и обозначают символом или , где – приращение независимой переменной . Аналогич­но или , где .

Сумма частных дифференциалов функции z называется ее пол­ным дифференциалом и обозначается символом . Таким образом,

.

(5.6)

Пример 5.3

, то = =2(x+y) и dz=2(x+y)(dx+dy)

5.4. Неявные функции и их дифференцирование

Как уже отмечалось, если уравнение, с помощью которого за­дается функция одной переменной , не разрешено относительно у, то эта функция называется неявной. Разрешая это уравнение отно­сительно у, мы получаем ту же функцию, но уже заданную в явной форме. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относи­тельно у невозможно (например, )или нецелесо­образно; в этом случае уравнение так и оставляют неразрешенным, в общем виде (после переноса всех членов в левую часть):

В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной функции, не разрешая уравнения относительно у.

Если в уравнении, определяющем неявную функцию , задавать значения независимой переменной x, то для нахождения со­ответствующего значения у надо решать уравнение. Теперь если в это уравнение подставить его решение, то получится тождество. Поэтому можно сказать также, что неявная функция , определенная уравнением, — это такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество. Дифференцируя это тож­дество по согласно правилу дифференцирования сложной функ­ции, получим:

где .

Отсюда при вытекает формула для производной не­явной функции

Пример 5.4

Пусть у как функция от задана соотношением . Найти . Так как для имеем:

, ,

то, согласно формуле для производной неявной функции,

.