5.5.Частные производные и дифференциалы высших по­рядков

Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции двух независимых переменных можно определить (пред­полагается, что все производные существуют) четыре частные произ­водные второго порядка, которые обозначаются символами:

,

,

Частные производные и , отличающиеся порядком дифферен­цирования, называются смешанными частными производными вто­рого порядка.

Аналогичным образом определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков.

Пример 5.5

Найти частные производные второго порядка функции

.

Решение

Имеем: , , , ,

, .

Пример 5.6

Найти частные производные второго порядка функции

.

Решение

Имеем: , , , , , . В обоих примерах = . Можно доказать, что

непрерывные смешанные производные высших поряд­ков не зависят от последовательности дифференцирования, а зави­сят лишь от того, по каким переменным и сколько раз по каждой переменной произведено дифференцирование.

Пусть теперь имеется функция z = f(x, y), обладающая непре­рывными частными производными второго порядка. Рассмотрим ее полный дифференциал .

Так как и по предположению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции , в свою очередь, можно взять полный дифференциал . Так получим полный диф­ференциал второго порядка (или второй дифференциал), который обозначается .

Аналогично, потребовав существование непрерывных частных производных третьего, четвертого, n–го порядков, можно получить полные дифференциалы соответственно третьего, четвертого, n-го по­рядков.

Найдем выражение второго дифференциала через вторые частные производные. Пользуясь правилами 2 и 4 ( и не зависят от и , т. е. рассматриваются как постоянные) и приведенной выше тео­ремой, можно записать:

=

= =

= . Таким образом,

= .

Пример 5.7

, тогда .

5.6. Признак полного дифференциала

Выясним, при каких условиях выражение

(5.7)

где и непрерывны вместе со своими частными произ­водными первого порядка, является полным дифференциалом неко­торой функции . Пусть (5.7) – полный дифференциал функции . Тогда:

(5.8)

.

С другой стороны,

(5.9)

.

Из (5.8) и (5.9) следует, что и .

Отсюда получаем:

, . Но (см. п. 5.5) , тогда

(5.10)

Таким образом, если выполняется условие (5.10), тогда выражение (5.7) является полным дифференциалом.

Пример 5.8

Выяснить, является ли выражение (3х²у² +соsх) dх+(2х³у – ) dу

полным дифференциалом некоторой функции и найти эту функцию

Решение

,

и поэтому

= 6x² y , =6х² у;

Таким образом, условие (5.10) выполнено. Следовательно, согласно установленному правилу заданное выра­жение есть полный дифференциал некоторой функции. Найдем эту функцию. Обозначим ее . Тогда , отсюда получаем = /

.

откуда:

(y)= – =ln|y|+C.

Окончательно:

,

где — произвольная постоянная.