Л.29 Основы телетрафика

8 Основы теории телетрафика

8.1 Предмет и задачи теории телетрафика

С появлением и широким распространением телефонных систем и вследствие возникновения необходимости разработки математических методов для оценки качества их функционирования в начале ХХ века родилась теория массового обслуживания, которая в настоящее время используется для решения широкого круга задач – от бытового обслуживания до космических исследований. Однако определяющую роль в развитии теории массового обслуживания продолжает играть одна из ее ветвей – теория телетрафика (teletraffic theory), основоположником которой считается датский ученый А. К. Эрланг.

Термин телетрафик (teletraffic) применим к множеству видов сообщений, однако большинство исследований относится к системам и сетям передачи данных и телефонных сообщений. В теории телетрафика все рассматриваемые объекты объединяются под общим названием системы распределения информации (системы телетрафика).

Система распределения информации – совокупность коммутационных приборов, часть или весь коммутационный узел либо сеть связи, которые по определенному алгоритму обслуживают сообщения различного вида (телефонные, телеграфные, факсимильные, видео, данные ЭВМ и др.).

Главной целью теории телетрафика является построение математических моделей, адекватно отображающих реальные системы распределения информации, а также разработка методов оценки качества их функционирования. Это позволяет наиболее экономично строить системы и сети передачи сообщений при заданном качестве обслуживания.

Предметом теории телетрафика являются процессы обслуживания системами распределения информации поступающих потоков сообщений и их численные характеристики.

К основным задачам теории телетрафика относятся:

1. задачи анализа, которые включают в себя определение характеристик качества обслуживания в зависимости от характеристик и параметров входящего потока вызовов, структуры системы обслуживания и дисциплины обслуживания (например, определение среднего времени ожидания соединения);

2. задачи синтеза, которые заключаются в построении такой оптимальной коммутационной системы, где при известных параметрах потоков сообщений, дисциплине и качестве обслуживания минимизируется ее стоимость (обратная задача заключается в построении коммутационной системы заданной стоимости, которая минимизирует потери вызовов при известных параметрах потоков сообщений, дисциплине обслуживания);

3. задача оптимизации заключается в управлении потоками вызовов или структурой сети для достижения наилучших показателей качества ее функционирования.

С развитием телекоммуникаций повышаются требования к экономичности построения и качеству функционирования систем связи. В связи с этим задачи анализа, синтеза и оптимизации телекоммуникационных систем и сетей необходимо решать с учетом перспектив их развития.

8.2 Характеристики и свойства потоков вызовов

8.2.1 Основные понятия случайного процесса в системе массового обслуживания

Система массового обслуживания (СМО) состоит из какого-либо числа обслуживающих единиц (например, числа каналов связи). Работа любой СМО состоит в выполнении поступающего на нее потока требований (заявок). Заявки поступают на систему в случайные и не случайные моменты времени. Обслуживание каждой поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается. В зависимости от числа каналов СМО обладает пропускной способностью, которая позволяет более или менее справляться с потоком заявок. Различают:

• абсолютную пропускную способность – число заявок, которое система может обслужить в единицу времени;

• относительную пропускную способность – среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поданных.

В большинстве случаев моменты поступления заявок, а также длительность их обслуживания случайны. В связи с этим в потоке заявок могут образовываться так называемые сгущения и разряжения. Сгущения могут приводить либо к отказам в обслуживании, либо к образованию очередей. Разряжения могут приводить непроизводительным простоям отдельных каналов или системы в целом. Таким образом, процесс функционирования СМО представляет собой случайный процесс.

Случайный процесс, протекающий в СМО, состоит в том, что система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое: меняется число занятых каналов, число заявок в очереди и т. п. СМО представляет собой физическую систему дискретного типа с конечным (счетным) множеством состояний, а переход системы из одного состояния в другое происходит скачком в тот момент, когда происходит какое-то новое событие (поступление новой заявки, уход заявки из очереди и т. п.).

Рассмотрим физическую систему Х со счетным множеством состояний 1:

х_1,х_2, . . .х_n, . . .

В любой момент времени t система Х может находится в одном из этих состояний. Обозначим р_k(t) (k=1, 2, . . . n, . . .) вероятность того, что в момент времени t система будет находится в состоянии х_k. Для такого случая будет справедливо равенство:

(8.1)

Совокупность вероятностей р_k(t) для каждого момента времени t характеризует данное сечение случайного процесса, протекающего в системе. Случайные процессы в дискретной системе со счетным множеством состояний бывают двух типов: с дискретным и непрерывным временем. Для случайных процессов с дискретным временем переходы из одного состояния в другое могут происходить только в строго определенные, заранее известные моменты t₁, t₂, . . . Для случайных процессов с непрерывным временем смена состояния системы возможна в любой момент времени t. Случайные процессы протекающие в СМО, как правило, представляют собой процессы с непрерывным временем.

В качестве примера рассмотрим одноканальную СМО (одна телефонная линия), в которой заявка, заставшая канал занятым, не становится в очередь, а покидает систему (получает отказ). Эта система с непрерывным временем и двумя возможными состояниями: х₀ – канал свободен, х₁ – канал занят. Переходы из одного состояния в другое обратимы. Для n-канальной системы имеются следующие состояния: х₀ – все каналы свободны; х₁ – один канал занят; х₂ – занято два канала и т. д. На рисунке 8.1 показаны схемы возможных переходов.

Рисунок 8.1 – Переходы состояний для одноканальной и n-канальной систем

Другим примером дискретной системы с непрерывным временем является одноканальная СМО с четырьмя состояниями: х₀ – канал исправен и свободен; х₁ –канал исправен и занят; х₂ – канал неисправен и ждет ремонта; х₃ – канал неисправен и ремонтируется. Схема возможных переходов для этого случае показана на рисунке 8.2.

Рисунок 8.2 – Переходы для одноканальной системы с ремонтом

Для СМО основным фактором, обуславливающим протекающие в ней процессы, является поток заявок (вызовов). Поэтому математическое описание любой СМО начинается с описания потоков вызовов.