2.2.Элементарная теория дисперсии света.

Максвелл показал, что свет представляет собой электромагнитную волну. Фазовая скорость распространения такой волны в веществе (V) и скорость света в вакууме (C) различны. Соотношение между ними в соответствии с теорией Максвелла определяется значениями диэлектрической (ε) и магнитной (μ) проницаемостей вещества:

C/ V =

Для немагнитных сред можно принять μ = 1. Тогда имеем:

C / V = (4)

Таким образом, фазовая скорость света в веществе в раз меньше, чем в вакууме. Учитывая (2), получим:

n = (5)

или

n² = ε (6)

На первый взгляд кажется, что формулы (5), (6) противоречат опыту. Так для воды в постоянном электрическом поле и в переменных полях малой частоты ε =81. Тогда, согласно (6), n = 9. Однако из опыта известно, что для видимой области n =1,33. Данное “расхождение” связано с тем, что совершенно необоснованно проигнорировано явление дисперсии. Действительно, в постоянном электрическом поле и в переменных электрических полях малой частоты происходит сильная ориентационная поляризация полярных молекул, что и обуславливает высокое значение ε. Однако в переменных электрических полях высокой частоты, к каким относится и поле световой волны, полярные молекулы уже не успевают ориентироваться и ориентационная поляризация не происходит. Это приводит к сильному уменьшению как ε , так и n .

Из курса "Электричество" известно, что

ε = 1+ æ, (7)

где æ - диэлектрическая восприимчивость, определяющая способность среды к поляризации, то есть к образованию электрических диполей под действием внешнего электрического поля.

Для диэлектриков в первом приближении явление поляризации в электрическом поле высокой частоты можно рассматривать как смещение электронов под действием этого поля на некоторое расстояние X относительно положения равновесия в направлении против поля. Ядра атомов при этом можно считать неподвижными, поскольку их масса значительно больше массы электрона. Количественной характеристикой эффекта является поляризованность Р, которая пропорциональна напряжённости электрического поля E:

Ρ = æ·ε₀·E , (8)

где ε₀ – электрическая постоянная. Равенство (6), с учетом (7), принимает вид:

n² = 1 + æ,

Выразив из (8) величину æ и подставив ее в последнее равенство, имеем:

n² = 1 + (9)

Из последнего выражения следует, что экспериментально наблюдаемые различия в значениях показателей преломления для разных веществ и длин волн могут обуславливаться особенностями в поляризации атомов при взаимодействии с электромагнитной волной.

Движение электронов в атоме описывается законами квантовой механики. Однако еще до ее создания Г.Лоренц показал, что для качественного объяснения дисперсии и многих других оптических явлений достаточно ограничится гипотезой о существовании внутри атомов электронов, связанных с атомами квазиупругими силами. Эти силы представимы в виде:

F = -K X,

где X - смещение электрона от положения равновесия, K - коэффициент пропорциональности. Если электрон вывести из положения равновесия то, под действием квазиупругой силы он будет совершать гармонические колебания с частотой ω₀, называемой собственной частотой атомного электрона. Из курса механики известно, что ω₀= , где m - масса электрона.

При прохождении электромагнитной волны через вещество каждый электрон оказывается под действием переменного электрического и магнитного полей. Расчёт показывает, что электрическая сила, действующая на электрон, значительно больше магнитной, так что магнитное поле электромагнитной волны практически не влияет на движение электрона. Напряжённость E электрического поля в электромагнитной волне изменяется по закону:

Е = E₀ cos ωt , (10)

где Е₀ - амплитуда напряжённости электрического поля, ω = 2 πν - циклическая частота колебаний напряжённости (циклическая частота световой волны). Поэтому при прохождении через вещество электромагнитной волны на каждый электрон действует также сила

F₁ = - e • E = - e • Е₀ • сos ωt

Под действием данной силы электрон совершает вынужденные колебания. Пренебрежем для упрощения затуханием колебаний электрона. Затухание происходит по двум причинам. Во-первых, при ускоренном движении электрона излучаются электромагнитные волны. Во-вторых, имеет место диссипация энергии электромагнитного поля, т.е. превращение ее в другие формы (в теплоту) в результате взаимодействия с другими атомами и соударений. Пренебрегая затуханием, на основании второго закона Ньютона имеем:

m d² X / dt² = F+ F₁ = - КX - е•Е₀ сos ωt

Разделив на m и учитывая, что K/m = ω₀² , получим:

d² X / dt² + ω₀² X = - E₀•cos ωt (11)

Уравнение (11) описывает вынужденные колебания электрона под действием переменного электрического поля световой волны. Решение этого уравнения имеет вид:

Х(t) = –

Из последнего равенства видно, что вынужденные колебания электронов происходят с частотой ω, равной частоте колебаний напряженности электрического поля световой волны. Величина

A(ω ) =

имеет размерность длины и представляет собой амплитуду вынужденных колебаний, которая зависит от ω. Как будет видно из последующего рассмотрения, именно зависимость амплитуды вынужденных колебаний от ω и является причиной дисперсии.

Для одного aтома величина электрического дипольного момента, индуцируемого в результате вынужденных колебаний, составляет:

а дипольный момент, индуцируемый в единице объёма вещества, содержащей N атомов, будет равен

₍₁₂₎

Выражение (12) представляет собой поляризованность вещества. Подставляя выражения (12) и (10) в (9), получаем :

₍₁₃₎

Из (13) видно, что показатель преломления n зависит от ω. Согласно (13), при частотах электромагнитной волны ω ›› ω₀ (далёких от резонансной) n²≈1. Зависимость n² от ω , соответствующая уравнению (13), показана на рис.5 пунктирными кривыми.

При стремлении ω к ω₀ слева имеем что n² → ∞, а при ω→ω₀ справа n²→ - ∞. Таким образом, n² , как функция ω, терпит разрыв при частоте, равной собственной частоте колебаний электрона (рис. 5). Подобное поведение функции (13) обусловлено тем, что в уравнении (10) мы пренебрегли членом, учитывающим затухание колебаний электрона. В результате при совпадении ω с ω₀ (т.е. при резонансе) амплитуда колебаний возрастает безгранично. При учете затухания колебаний электрона амплитуда его вынужденных колебаний при резонансе возрастает до конечного значения, а зависимость n² от ω в области частот, близких к резонансной, становится более плавной и разрыв вообще отсутствует (рис.6).

Учитывая, что ω=2πC / λ и

,

находим, что на участках АВ и CD (рис.6), где dn/dλ< 0, имеет место нормальный закон дисперсии, а участок ВС, где dn/dλ > 0, относится к области аномальной дисперсии.

Зависимость п2 от ω без учёта затухания колебаний электрона

Зависимость n2 от ω с учётом – затухания колебания электрона

Как отмечалось, при совпадении ω с ω₀ (т.е. при резонансе) резко возрастает амплитуда колебаний электрона. Интенсивно колеблющийся электрон вызывает усиление колебаний атома или увеличение скорости поступательного движения, что приводит к нагреванию вещества. Это является дополнительной причиной затухания колебаний электрона. Таким образом, в области резонанса имеет место явление сильного поглощения, т.е. переход энергии световой волны во внутреннюю энергию вещества. Такое поглощение называется резонансным.

Электроны, входящие в состав атома или молекулы, имеют не одну, а несколько собственных (резонансных) частот колебаний (ω₀₁,ω₀₂,…). Учитывая это, зависимость n² от ω изменяется. На рис. 7 представлена данная зависимость для случая трех резонансных частот. Из рис. 6 и 7, следует, что вдали от резонансных частот наблюдается нормальный закон дисперсии, а вблизи этих частот имеет место аномальная дисперсия. Формула (13) с учетом наличия нескольких резонансных частот преобразуется к виду: