4. Метод интегрирования подстановкой
Основную роль в интегральном
исчислении играет формула замены
переменных (или
подстановки)
Пример
.
.
Такого табличного интеграла
нет. Сделаем замену -
.
Отсюда
2) Интегрирование по частям. Интегрирование простейших дробей.
6. Интегрирование по частям.
Известно, что дифференциал
от произведения
равен:
Проинтегрируем полученное
равенство
Интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой функции:
Меняя местами слагаемые,
получим:
Это и есть формула интегрирования по частям.
Пример. Вычислить
интеграл
.
Решение.
Положим
;
.
Тогда
7. Интегрирование рациональных дробей.
Дробью называется выражение
вида:
Дробь
- правильная, если
.
Дробь
- не правильная, если
.
Для того, чтобы проинтегрировать дробь надо разложить ее на простейшие Простейшие дроби:
1.
2.
3.
4.
Интеграл от 1 дроби-табличный
интеграл:
Интеграл от 2 дроби - также
табличный:
3. Интеграл от третьей дроби см. интеграл группы четырёх.
4. Интеграл от четвертой дроби также см. интеграл группы четырёх.
Таким образом, дроби общего вида сводятся к простейшим дробям.
3)Интегрирование простейших иррациональностей.
9. Интегрирование иррациональных выражений.
1. Интегралы
вида
Пусть
– общий знаменатель
.
Тогда эффективна замена переменных:
2. Интегралы
вида
Пусть
– общий знаменатель
.
Тогда эффективна замена
.
Интегрирование рациональных функций, т.е интегрирование выражений вида:
В зависимости от конкретного вида выражения, существуют разные способы интегрирования.
1. Выделение полного квадрата
2. Тригонометрические замены.
4) Интегрирование рациональностей, зависящих от простейших тригонометрических функций.
Для нахождения интегралов
вида
,
где
- рациональная функция, используют
универсальную тригонометрическую
подстановку
.
Тогда
.
То есть подынтегральная функция приобретает вид:
Например, возьмем интеграл
.
Для этого введем новую переменную
.
Тогда, как было показано выше
и
.
Подставим эти значения в искомый
интеграл:
Частные случаи.
1. Интегралы вида
При этом делаем замену
.
Тогда
2. Интегралы вида
,
где
и
натуральные числа.
Данные интегралы находятся
с помощью тригонометрических формул
,
,
,
если
и
– четные.
Если хотя бы одно из чисел и - нечетное, то от нечетной степени отделяется множитель и вводится новая переменная:
если интеграл имеет вид
, то замена переменных:
.
Если интеграл имеет вид
то замена переменных:
.
Используя тригонометрическое
тождество
можно упростить взятие некоторых интегралов.
Например :
5) Интегральная сумма. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл.
1. Понятие определенного интеграла
Пусть дана функция
,
определенная на отрезке
.
Этот отрезок разобьем на
элементарных отрезков, шириной
,
где
- номер отрезка. В каждом из этих
элементарных отрезков выберем произвольную
точку
.
Значение функции в этой точке
умножим на длину отрезка
,
получим произведение
,
равное площади выделенного прямоугольника
(см. рисунок).
Далее составим сумму всех
таких произведений (сумму всех таких
прямоугольников):
Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке .
Определенным интегралом от функции на отрезке называется конечный предел ее интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина их стремится к нулю.
Определенный интеграл
обозначается символом
(читается: определенный интеграл
от
до
);
называется подынтегральной функцией,
- переменной интегрирования,
- нижним,
- верхним пределом
интегрирования.
Следовательно, по определению
Определенный интеграл
численно равен площади криволинейной
трапеции, ограниченной кривой
,
прямыми
,
и осью
.
Теорема (существования определенного интеграла).
Если функция
непрерывна на
,
то для нее существует определенный
интеграл, т.е. существует предел
интегральной суммы, составленный для
функции
на
,
и этот предел не зависит от способа
разбиения
на элементарные части и от выбора в них
точек
,
при условии, что
и наибольший
.
Отметим, что определенный интеграл - это число, в то время как неопределенный интеграл - это функция.
5) Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона–Лейбница.