9. Вычисление объёма тела по площади поперечного сечения.
П
усть
нам дано тело, известные площади
поперечного сечения
которого расположены перпендикулярно
оси
,
как показано на рисунке. Тогда элементарный
объем этого тела будет равен
Соответственно полный объем
этого тела будет выражаться формулой
Вычисление объем тела вращения.
Формула для объема получается из
предыдущей, где
.
8)Несобственные интегралы.
Пусть на конечном полуинтервале
задана функция
такая, что она интегрируема (т.е. конечна)
на любом интервале
,
где
,
но неограниченна в окрестности точки
.
Тогда ее интеграл на
,
или, что то же самое, на
не может существовать, так как интегрируемая
функция должна быть ограничена.
Однако может случиться так,
что существует конечный предел
То есть функция не ограничена,
а ее интеграл ограничен. В этом случае
записанный предел называют несобственным
интегралом от
на отрезке
и записывают в виде
В таком случае говорят, что
интеграл
сходится. В противном случае говорят,
что он расходится или не существует как
несобственный риманов интеграл.
Аналогично и на полуинтервале
В
связи с этим выражение
называется интегралом от
с единственной особенностью в точке
,
если выполняется следующее условие:
если
конечная точка, то функция
интегрируема на
при любом
удовлетворяющим неравенствам
,
и, кроме того, не ограничена в точке
.
Если же
,
то про функцию
предполагается лишь, что она интегрируема
на
при любом конечном
.
Также различают несобственные интегралы первого типа (с одним или двумя бесконечными пределами) и несобственные интегралы второго типа (от разрывных функций).
Несобственный интеграл
первого рода, вычисляется обычно как
Например, найти
.
Имеем
.
При
это выражение имеет предел
.
Значит.
Или, найти
.
Имеем
. Этот интеграл расходится.
13)Ду 1-го порядка в однородных функциях. Линейные ду первого порядка. Уравнение Бернулли. Понижение порядка ду.
Однородные ДУ
Обыкновенное дифференциальное уравнение
называется однородным если при замене
,
а
оно
не меняется.
Другими словами, если уравнение можно
привести к виду
где f – любая функция, то оно является однородным.
Однородное уравнение приводится к
уравнению с разделяющимися переменными
типа с помощью подстановки
.
Пример: решить уравнение
.
Покажем, что это уравнение однородное.
Для этого поделим его обе части на
.
Поделив почленно правую часть на x:
Слева
стоит производная y, а
справа функция, зависящая только от
.
Уравнение является однородным. Применим
замену
.
Сократим на u и поделим
на x:
;
;
;
Возвращаясь к исходной неизвестной
функции
;
;
.
Кроме этого, есть еще решение
,
которое было потеряно при делении на
x.
Линейные ДУ первого порядка.
Если обыкновенное дифференциальное уравнение можно привести к виду
,
где p(x) и q(x)
функции, не зависящие от y, а только от
переменной x, то такое уравнение называется
линейным (относительно y).
Линейные ОДУ первого порядка можно
решать с помощью подстановки Бернулли
,
где U(x) и V(x)
две пока неизвестные функции.
Уравнение Бернулли
имеет вид:
где
При
получаем уравнение с разделяющимися
переменными, а при
- линейное ДУ.
Метод решения уравнения Бернулли тот же, что и для линейных уравнений.
Отметим, уравнение имеет решение y = 0 (это проверяется непосредственно). А так как оно не может быть получено из общего решения ни при каком значении константы С, то является особым решением.
ДУ, допускающие понижение порядка.
1) Если дифференциальное уравнение имеет вид:
т. е. правая часть не содержит у, у
и т.д. до n-1 производной
функции y, то ДУ решается
n-кратным последовательным
интегрированием:
и
т.д. пока не будет найдена искомая функция
y(x).