Тесты на обнаружение гетероскедастичности

• Тест Голдфельда-Квандта

Тест Голдфелда-Кванда состоит в следующем:

1⁰. Все n наблюдений упорядочиваются по величине X.

2⁰. Вся упорядоченная выборка после этого разбивается на три подвыборки размерностей k, (n–2k), k соответственно.

3⁰. Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям X верно, то дисперсия регрессии по первой подвыборке (сумма квадратов отклонений ) будет существенно меньше дисперсии регрессии по третьей подвыборке (сумма квадратов отклонений ).

4⁰. Для сравнения соответствующих дисперсий строится следующая F-статистика:

.

Здесь (k–m–1) – число степеней свободы соответствующих выборочных дисперсий (m – количество объясняющих переменных в уравнении регрессии). При сделанных предположениях относительно случайных отклонений построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы ₁=₂=k–m–1.

5⁰. Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

Естественным является вопрос: какими должны быть размеры подвыборок для принятия обоснованных решений? Для парной регрессии Голдфелд и Квандт предлагают следующие пропорции: n=30, k=11; n=60, k=22.

Для множественной регрессии данный тест обычно проводится для той составляющей, которая в наибольшей степени связана с _i. При этом k должно быть больше, чем (m+1). Если нет уверенности относительно выбора переменной X_i, то данный тест может осуществляться для каждой из объясняющих переменных.

• Тест Уайта

Наиболее простой и часто употребляемый тест на гетероскедастичность – тест Уайта.

Схема применения теста Уайта выглядит следующим образом.

1⁰. К исходной модели применяется обычный МНК и находятся остатки регрессии e_i .

2⁰. Осуществляется регрессия квадратов этих остатков на все объясняющие переменные X, их квадраты, попарные произведения и константу (если её не было в составе исходных переменных). Заметим, что на практике применение теста Уайта с включением и невключением попарных произведений дают, как правило, один и тот же результат.

3⁰. Проверяется гипотеза о значимости уравнения регрессии в целом. Гипотеза об отсутствии гетероскедастичности проверяется при помощи F-критерия.

Привлекательной чертой теста Уайта является его универсальность. Однако если нулевая гипотеза отвергается, этот тест не даёт указания на функциональную форму гетероскедастичности.

Методы устранения гетероскедастичности. Взвешенный мнк

В этом случае обычно применяют взвешенный МНК.

Суть метода заключается в уменьшении вклада данных наблюдений, имеющих большую дисперсию в результате расчёта.

Пусть в исходной модели регрессии

случайные отклонения гетероскедастичны, т.е. , . Допустим, что дисперсии в каждом наблюдении известны. Разделив каждое наблюдение на соответствующее ему значение _i, получим преобразованную модель

,

для которой выполняются условия гомоскедастичности, т.к.

, .

Оценка параметров преобразованного уравнения обычным МНК приводит к оценке параметров исходного уравнения взвешенным МНК. Для каждого из этих метод необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений

.

При минимизации этой суммы квадратов отклонений отдельные её слагаемые взвешиваются: наблюдениям с большей дисперсией придаётся меньший вес . Оценки МНК коэффициентов преобразованной модели дают непосредственно оценки исходной модели.

На практике дисперсии неизвестны, поэтому их заменяют оценками. Для экономических данных _i часто пропорциональны значениям объясняющей переменной x_i. В этом случае оценивается обычным МНК преобразованная модель вида

.

Коэффициент при 1/X будет эффективной оценкой ₀, а постоянный член – эффективной оценкой ₁.

Замечание. Коэффициент детерминации не может служить удовлетворительной мерой подгонки при использовании взвешенного МНК.

Дома (записать ответ):

Ошибки спецификации:

1. Ошибка исключения существенной переменной;

2. Ошибка включения несущественной переменной.

7