Ноль как натуральное число

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют на . В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств 0 является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций ноль, как и пустое множество, не является чем-то выделенным. Одним из преимуществ натурального нуля является то, что при этом образует полугруппу с единицей.

В русской литературе обычно ноль исключён из числа натуральных чисел , а множество натуральных чисел с нулём обозначается как . Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как , а без нуля как .

В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают . Множество зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают .

Проверим, можно ли превратить дробь в десятичную → Два способа перевода дроби в десятичную

Примеры:

Дробь 11/40 можно преобразовать в конечную десятичную. Её знаменатель раскладывается на множители 2 и 5.

Дробь 17/60 нельзя преобразовать в конечную десятичную дробь, потому что в её знаменателе кроме множителей 2 и 5, есть 3.

Хотим напомнить, что множители 2 и 5 называются простыми, то есть они делятся только на самих себя и на 1. Таблицу простых чисел (множителей) вы можете найти в разделе "Для учёбы"

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

• Сложение. Слагаемое + Слагаемое = Сумма

• Умножение. Множитель * Множитель = Произведение

• Возведение в степень , где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

• Вычитание. Уменьшаемое Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).

• Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное и остаток от деления на определяются так: , причём . Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе можно представить в виде , то есть можно было бы считать частным , а остатком = .

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.