Как найти наибольший общий делитель
Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:
разложить делители чисел на простые множители;
Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа - делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.
Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64.
подчеркнуть одинаковые простые множители в обоих числах.
28 = 2 • 2 • 7 64 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2
найти произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;
НОД (28; 64) = 2 • 2 = 4 Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или "в строчку".
Первый способ записи нод
Найти НОД 48 и 36.
НОД
(48; 36) = 2 • 2 • 3 = 12
Второй способ записи нод
Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15.
Д (10) = {1, 2, 5, 10} Д (15) = {1, 3, 5, 15} Д (10, 15) = {1, 5} НОД (10; 15) = 5
|
Возьмём дробь 5/8 и "перевернём" её, поменяв местами числитель и знаменатель.
Получим дробь 8/5.
Дробь 8/5 называют обратной дроби 5/8.
Если теперь дробь 8/5 опять "перевернуть", мы получим исходную дробь 5/8. Поэтому такие дроби как 5/8 и 8/5 называют взаимно обратными.
Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:
записать его в виде неправильной дроби;
полученную дробь "перевернуть".
Пример. Найти число обратное смешанному числу:
Запишем смешанное число в виде неправильной дроби.
Переворачиваем полученную дробь. Обратным числом для смешанного числа будет обыкновенная дробь:
Взаимно обратные числа обладают важным свойством.
Произведение взаимно обратных чисел равно единице.
Пример произведения обратных дробей.
Натуральная степень
Число
называется
n-й
степенью числа
,
если
.
Свойства:
запись
не
обладает свойством ассоциативности
(сочетательности), то есть в общем случае
левая ассоциативность не равна правой
ассоциативности
,
результат будет зависеть от
последовательности действий, например,
,
а
.
Принято считать запись
равнозначной
,
а вместо
можно
писать просто
,
пользуясь предыдущим свойством.возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря,
,
например,
,
но
.
Существует алгоритм
быстрого возведения в степень,
выполняющий возведение в степень за
меньшее, чем в определении, число
умножений.По определению,
(результат не
определен при
и
)
Графики и основные свойства элементарных функций
Данный методический материал носит справочный характер и относится к широкому кругу тем. В статье приведен обзор графиков основных элементарных функций и рассмотрен важнейший вопрос – как правильно и БЫСТРО построить график. В ходе изучения высшей математики без знания графиков основных элементарных функций придётся тяжело, поэтому очень важно вспомнить, как выглядят графики параболы, гиперболы, синуса, косинуса и т.д., запомнить некоторые значения функций. Также речь пойдет о некоторых свойствах основных функций.
Я не претендую на полноту и научную основательность материалов, упор будет сделан, прежде всего, на практике – тех вещах, с которыми приходится сталкиваться буквально на каждом шагу, в любой теме высшей математики. Графики для чайников? Можно сказать и так.Начнём.Как правильно построить координатные оси?
На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей.Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей.Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат:
1) Чертим координатные оси. Чертить всегда стараемся аккуратно и не криво. Стрелочки тоже не должны быть похожи на бороду Папы Карло.
2) Подписываем оси. Не забываем подписывать оси.
3) Задаем размерность по осями: рисуем ноль и две единички. При выполнении чертежа самая удобная и часто встречающаяся размерность: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева). Я рекомендую Вам по возможности всегда придерживаться именно такой размерности. Но, время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда размерность уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа). Редко-редко, но бывает, что размерность чертежа приходиться уменьшать (или увеличивать) еще больше.
НЕ НУЖНО по осям проставлять все значения: …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость – не памятник Лобачевскому, а студент – не голубь. Ставим ноль идве единицы по осям. Как говорят математики, это необходимо и достаточно. Размерность можно задать и произвольно, например, поставить 0 и – 1, –1 – по осям, но существуют некоторые стандарты, которых целесообразно придерживаться.
Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить еще ДО построения чертежа. Так, например, если в задании
требуется
начертить треугольник с вершинами 
, 
, 
,
то совершенно понятно, что популярная
размерность 1 единица = 2 клеточки не
подойдет. Почему? Посмотрим на точку
–
здесь придется отмерять пятнадцать
сантиметров вниз, и, очевидно, что чертеж
не вместится (или вместится еле-еле)
на тетрадный лист. Поэтому сразу выбираем
меньшую размерность 1 единица = 1 клеточка.
Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Если честно, в такие моменты начинаешь задумываться о правоте товарища Сталина, который отправлял в лагеря за халтуру на производстве, не говоря уже об отечественном автомобилестроении, падающих самолетах или взрывающихся электростанциях.
К слову о качестве, или краткая рекомендация по канцтоварам. На сегодняшний день большинство тетрадей в продаже, плохих слов не говоря, полное гомно. По той причине, что они промокают, причём не только от гелевых, но и от шариковых ручек! На бумаге экономят. Для оформления контрольных работ рекомендую использовать тетради Архангельского ЦБК (18 листов, клетка) или «Пятёрочку», правда, она дороже. Ручку желательно выбрать гелевую, даже самый дешевый китайский гелевый стержень намного лучше, чем шариковая ручка, которая то мажет, то дерёт бумагу. Единственной «конкурентоспособной» шариковой ручкой на моей памяти является «Эрих Краузе». Она пишет чётко, красиво и стабильно – что с полным стержнем, что с практически пустым. Немецкое качество.
Дополнительно: вИдение прямоугольной системы координат глазами аналитической геометрии освещается в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов, подробную информацию о координатных четвертях можно найти во втором параграфе урокаЛинейные неравенства.
Трехмерный случай
Здесь почти всё так же.
1)
Чертим координатные оси. Стандарт:
ось 
–
направлена вверх, ось 
–
направлена вправо, ось 
–
влево вниз строго под
углом 45 градусов.
2) Подписываем оси.
3) Задаем размерность по осям. Размерность по оси – в два раза меньше, чем размерность по другим осям. Также обратите, внимание, что на правом чертеже размерность я задал нестандартно – по оси двойкой, а не единицей. С моей точки зрения, так точнее, и, главное, быстрее и удобнее – не нужно под микроскопом выискивать середину клеточки.
При выполнении трехмерного чертежа опять же желательно придерживаться размерности 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева).
Для
чего нужны все эти правила? Правила
существуют для того, чтобы их нарушать.
Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что
последующие чертежи статьи будут
выполнены мной в Экселе, и, координатные
оси будут выглядеть некорректно с точки
зрения правильного оформления. Я бы мог
начертить все графики от руки, но чертить
их на самом деле жуть как неохота Эксель
их начертит гораздо точнее.
Графики и основные свойства элементарных функций
График линейной функции
Линейная
функция задается уравнением 
.
График линейной функций представляет
собой прямую.
Для того, чтобы построить прямую
достаточно знать две точки.
Пример 1
Построить
график функции 
.
Найдем две точки. В качестве одной из
точек выгодно выбрать ноль.
Если 
,
то Берем
еще какую-нибудь точку, например,
1.Если 
,
то 
При
оформлении заданий координаты точек
обычно сводятся в таблицу:
А
сами значения рассчитываются устно или
на черновике, калькуляторе.
Две точки найдены, выполним чертеж:
При
оформлении чертежа всегда подписываем
графики.
Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:
Обратите
внимание, как я расположил подписи, подписи
не должны допускать разночтений при
изучении чертежа.
В данном случае крайне нежелательно
было поставить подпись рядом с точкой
пересечения прямых 
,
или
справа внизу между графиками.
1)
Линейная функция вида 
(
)
называется прямой пропорциональностью.
Например, 
.
График прямой пропорциональности всегда
проходит через начало координат. Таким
образом, построение прямой упрощается
– достаточно найти всего одну точку.
2)
Уравнение вида 
задает
прямую, параллельную оси
,
в частности, сама ось
задается
уравнением 
.
График функции строится сразу, без
нахождения всяких точек. То есть,
запись
следует
понимать так: «игрек всегда равен –4,
при любом значении икс».
3)
Уравнение вида 
задает
прямую, параллельную оси
,
в частности, сама ось
задается
уравнением
.
График функции также строится сразу.
Запись
следует
понимать так: «икс всегда, при любом
значении игрек, равен 1».
Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде или .
Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.
Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости.