2. Оценка погрешностей результатов прямых неравноточных измерений

2.1 Основные теоретические положения

Неравноточными или неравнорассеянными называют измерения, выполненные с различной точностью, с неодинаковым числом равноточных наблюдений или в разных критериях [6].

Степень надежности результата измерений, выраженную числом, называют весом этого результата. Чем надежнее итог, тем больше его вес. Следовательно, вес связан с точностью результата измерения, которая характеризуется средней квадратической погрешностью.

Совместная обработка неравноточных измерений позволяет уточнить значение измеряемой величины.

Основой для расчёта служат следующие данные:

 ; ; …  средние арифметические рядов равнорассеянных результатов измерения постоянной физической велечины Q;

 S₁; S₂; …; S_і  среднее квадратическое отклонение;

 n₁; n₂; …; n_і  числа наблюдений в каждом ряду [8];

В качестве оценки истинного значения измеряемой велечины по результатам неравноточных измерений, используют среденее взвешенное , рассчитываемое по формуле:

(2.1)

где  весовой коэффициент, характеризующий степень доверия к тому или иному результату. Он определяется по формуле:

Дисперсия среднего взвешенного меньше дисперсии всех средних арифметических. Её можно оценить по формуле:

(2.3)

2.2. Определение среднего взвешенного значения и доверительной границы его погрешности

В соответствии с условием рассматривается три ряда неравноточных результатов, в каждом из которых содержится по одному измерению:

= U₁; U₂; = U₃;

Для нахождения дисперсии результатов каждого ряда рассмотрим уравнение приведённой погрешности, так как класс точности вольтметров задаётся в форме приведённой погрешности:

(2.4)

где  доверительные границы погрешности результатов

(2.5)

где,  квантиль нормального распределения;

 среднее квадратическое отклонение погрешности вольтметров.

Следовательно:

откуда:

(2.7)

тогда весовые коэффициенты для рассматриваемых рядов измерений, можно найти по формуле:

(2.8)

откуда:

(2.9)

следовательно:

(2.10)

Найдём весовые коэффициенты. Они рассчитываются, учитывая, что = 30, а = 5,8409, для p = 0,99:

Расчёт среднего взвешенного значения напряжения производится по формуле:

(2.11)

отсюда:

Расчёт доверительных границ среднего взвешенного производится по формуле:

(2.12)

откуда:

(2.13)

следовательно:

Таким образом, результат совместной обработки неравноточных рядов измерений представляется в виде: (20,14 ± 0,3) В, p = 0,99.

3. Оценка погрешностей результатов косвенных измерений

3.1. Основные теоретические положения

Косвенными называются измерения, при которых искомое значение определяется на основании известной зависимости между величиной и величинами, полученными прямыми измерениями [8]. Косвенные измерения широко распространены в тех случаях, когда искомую величину невозможно или слишком сложно измерить непосредственно или когда прямое измерение дает менее точный результат. Роль их особенно велика при измерении величин, недоступных непосредственному экспериментальному сравнению[6]. В общем случае косвенно измеряемая величина представляет собой некоторую функцию:

(3.1)

Полный дифференциал функции Z имеет вид:

(3.2)

Каждая из величин измеряется с некоторой погрешностью Полагая, что погрешности малы, мы можем заменить на

(3.3)

В выражении (3.3) слагаемое представляет собой, частную погрешность результата косвенного измерения, вызванную погрешностью определения величины Частные производные носят название коэффициентов влияния соответствующих погрешностей [2].

Следует иметь в виду, что формула (3.3) является приближенной, так как учитывает только линейную часть приращения функции, однако в большинстве практических случаев она обеспечивает удовлетворительную точность оценки погрешностей результаты косвенного измерения. По виду функциональной зависимости можно различать.

Косвенные измерения с линейной зависимостью между измеряемой величиной и аргументами. Линейная функциональная зависимость является простейшей формой связи между измеряемой величиной и находимыми посредством прямых измерений аргументами [2]. Она может быть выражена формулой:

(3.4)

где  постоянный коэффициент i-гo аргумента

m  число аргументов.

Погрешности линейных косвенных измерений оцениваются методом, основанным на раздельной обработке аргументов и их погрешностей.

Косвенные измерения с нелинейной зависимостью между измеряемой величиной и аргументами. Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях и некоррелированных погрешностях измерений аргументов используют метод линеаризации. Метод линеаризации предполагает разложение нелинейной функции в ряд Тейлора:

(3.5)

где   нелинейная функциональная зависимость измеряемой величины    от измеряемых аргументов  _i;

 ,  первая производная от функции   по аргументу  _i , вычисленная в точке ; 

   отклонение результата измерения аргумента  _i , от его среднего арифметического;  R  остаточный член.