Представление чисел в формате с плавающей точкой. Мантисса и характеристика числа.
Экспоненциальная форма записи числа, т.н. «научная нотация» (scientific notation):
0.125*10-2 = 0.00125 0.125*101 = 1.25 0.125*103 = 125. 0.125*105 = 12500.
Информативными (несущими информацию) являются две составляющие: мантисса и порядок.
Формат ПЗ предусматривает деление разрядной сетки на разряды мантиссы и разряды порядка (со знаками).
Если число содержит в мантиссе первыми значащими цифрами нули, то для сохранения точности нужно иметь больше разрядов. При сохранении разрядности происходит потеря точности мантиссы.
0.127*103 = 127 0.0127*104 = 127 0.013*104 = 130
В двоичной системе счисления первая значащая цифра для положительных чисел – это единица. Отсюда следует, что в нормализованной мантиссе первая цифра всегда равна единице.
В память эта единица не записывается, и поэтому она называется «скрытой единицей».
Нормализованные и денормализованные числа. Погрешность представления числа.
Формат ПЗ предусматривает деление разрядной сетки на разряды мантиссы и разряды порядка (со знаками).
Если число содержит в мантиссе первыми значащими цифрами нули, то для сохранения точности нужно иметь больше разрядов. При сохранении разрядности происходит потеря точности мантиссы.
0.127*103 = 127 0.0127*104 = 127 0.013*104 = 130
Числа, мантисса которых содержит впереди незначащие нули, называются денормализованными.
Соответственно, числа, мантисса которых не содержит впереди незначащих цифр, называются нормализованными.
Числа в памяти компьютера хранятся в нормализованном виде.
Нормализованная мантисса в двоичной системе счисления всегда представляется десятичным числом m, лежащим в диапазоне 0,5 <= m < 1.
Погрешность представления числа:
Возьмем для примера числа, которые можно записать в 5 разрядах числа: 3 разряда на мантиссу со знаком и два разряда на экспоненту со знаком: от 0.1 * 10-99 до 0.999 на 10*99
Область значений определяется числом разрядов в экспоненте, а точность – числом разрядов в мантиссе.
Ошибка переполнения 1 и 7
Ошибка потери значимости – 3 и 5
Это первое отличие чисел с ПЗ
Второе отличие – плотность. Она неравномерна. Числа с ПЗ не формируют континуума чисел. Количество чисел конечно – 179 000 отрицательных и столько же положительных + 0.
И промежутки между невыражаемыми числами не постоянны: промежуток от 0.999*10 99 и 0.998 * 10 99 больше, чем промежуток от 0.999 * 10 0 до 0.998 * 10 0;
Итак, числа с ПЗ:
используется специальный формат представления чисел,
числа расположены неравномерно по числовой оси,
дискретность (расстояние между соседними числами) переменная на всем диапазоне. Чем больше значения чисел, тем больше промежутки между ними.
Арифметические операции в формате с плавающей точкой.
При выполнении арифметических операций над числами, представленными в формате с плавающей точкой, надо отдельно выполнять их для порядков и мантисс.
При алгебраическом сложении чисел надо сначала уравнять порядки слагаемых.
При умножении порядки надо складывать, а мантиссы — перемножать.
При делении из порядка делимого вычитают порядок делителя, а над мантиссами совершают обычную операцию деления.
После выполнения операций, если это необходимо, проводят нормализацию результата, что влечет изменение порядков, т.к. каждый сдвиг на один разряд влево соответствует уменьшению порядка на единицу, а сдвиг вправо увеличению на единицу.