Погрешности геометрического нивелирования.

Отметка конечного пункта геометрического нивелирования, если известна отметка начального пункта, определяется по формуле

H_K = H_H + Sh_i = H_H + Sa_i - Sb_i,

где а_i и b_i - отсчёты по рейке (задние и передние).

Обозначим средние квадратические погрешности превышений через m₁,m₂,...,m_n. В связи с тем, что при нивелировании расстояния между связующими точками хода практически равны, работа выполняется одним прибором, и в одних и тех же условиях погрешности определения превышений можно считать равными:

m₁ = m₂ = ... = m_n = m. (9)

Тогда средняя квадратическая погрешность суммы превышений будет равна

m_x² = n m². (10)

Преобладающее влияние на погрешность определения превышения оказывают погрешности отсчётов по двум рейкам, таким образом

m² = m₀² + m₀² = 2m₀², (11)

где m₀ - средняя квадратическая погрешность отсчитывания.

Погрешность отсчитывания обусловлена двумя причинами - погрешностью визирования и погрешностью установки уровня.

Доля погрешности визирования в погрешности отсчитывания составляет

60"

m_n = ------- l , (12)

Гr"

где Г - увеличение трубы; l - расстояние визирования (до рейки),м;

r" = 206 265".

Точность установки уровня принимается равной 0.15m" (m - цена деления уровня). Погрешность отсчитывания из-за неточной установки уровня, таким образом, определяется из выражения:

0.15m"

m_У = --------- l. (13)

r"

Общая погрешность отсчитывания равна:

________

m₀ = Ö m_n² + m_У². (14)

Например, средняя квадратическая погрешность отсчёта по рейкам, если увеличение трубы 20^х, расстояние до рейки 50 м, m = 20", равна

_________________________________

/ì 60 ü² ì 0.15 20 ü²

m₀ = Ö ï------------ 50 000ï + ï----------50 000 ï= 1.0 mm

î20 206265 þ î 206265 þ

Откуда средняя квадратическая погрешность превышения, определяемая нивелированием из середины, когда расстояние от нивелира до рейки 50 м,

__

m = ±Ö 2 = ±1.4 mm .

Таким образом, можно предрасчитать среднюю квадратическую погрешность нивелирования при заданных характеристиках прибора и параметрах методики или, наоборот, исходя из необходимой точности получаемого результата работ, выбрать методику и инструментарий, которые обеспечат требуемую точность.

Непосредственно к вопросу о точности геометрического нивелирования относится учёт влияния кривизны Земли и рефракции (искривления) визирного луча. В общем случае с учётом этих поправок формула для превышения при нивелировании вперёд имеет вид:

h = v - (b + r - k), (15)

где v- высота инструмента; b - отсчёт по рейке; r- поправка за рефракцию луча; k - поправка за кривизну Земли.

Поправка за кривизну Земли вычисляется:

k = s²/2R, (16)

где s- расстояние от нивелира до рейки; R- средний радиус Земли.

Поправка за рефракцию может быть определена по формуле:

r = s²/12R (17)

Общая поправка за кривизну Земли и рефракцию будет:

f = k-r = 0.42s²/R. (18)

При геометрическом нивелировании длину визирного луча ограничивают в пределах 50-150 м. Соответственно этому общая величина поправки за кривизну Земли и рефракцию будет находиться в диапазоне 0.3-1.7 мм.

Однако нетрудно показать, что при нивелировании из середины и равенстве плеч общая поправка за кривизну Земли и рефракцию исключается при определении превышений одной точки над другой. В этом заключается одно из основных преимуществ нивелирования из середины.