5. Примеры решения задач.

Пример 1.

Имеются следующие данные о производстве рабочими продукции А за смену:

№ раб.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Выпущено изделий за смену	16	17	18	17	16	17	18	20	21	18

В данном примере варьирующий признак - выпуск продукции за смену.

Численные значения признака (16, 17 и т.д.) называют вариантами. Определим среднюю выработку продукции рабочими данной группы:

Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется иначе.

Пример 2.

Имеются следующие данные о заработной плате рабочих - сдельщиков:

Месячная з/п (варианта - х), руб.	Число рабочих, n	xn
х = 110	n = 2	220
х = 130	n = 6	780
х = 160	n = 16	2560
х = 190	n = 12	2280
х = 220	n = 14	3080
ИТОГО	50	8920

По данным дискретного ряда распределения видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз.

Число одинаковых значений признака в рядах распределения называется частотой или весом и обозначается символом f.

Вычислим среднюю заработную плату одного рабочего в руб.:

Пример 3.

Имеются следующие данные:

Таблица 5.2.

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.	Число рабочих, n	Середина интервала, х	хn
3 — 5	10	4	40
5 — 7	30	6	180
7 — 9	40	8	320
9 — 11	15	10	150
11 — 13	5	12	60
ИТОГО	100		750

Исчислим среднюю выработку продукции одним рабочим за смену. В данном ряду варианты усредняемого признака (продукция за смену) представлены не одним числом, а в виде интервала "от - до". Рабочие первой группы производят продукцию от 3 до 5 шт., рабочие второй группы - от 5 до 7 шт. и т.д. Таким образом, каждая группа ряда распределения имеет нижнее и верхнее значения вариант, или закрытые интервалы. Исчисление средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:

Чтобы применить эту формулу, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Так, для первой группы дискретная величина х будет равна: (3 + 5) / 2 = 4.

Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной:

Итак, все рабочие произвели 750 шт. изделий за смену, а каждый в среднем произвел 7,5 шт.

Пример 4.

Имеются следующие данные о производстве продукции за смену:

Таблица 5.3.

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.	Число рабочих, n	Середина интервала, х	хn
до 5	10	4	40
5 — 7	30	6	180
7 — 9	40	8	320
9 — 11	15	10	150
свыше 11	5	12	60
ИТОГО	100		750

В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

Пример 5.

Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин., третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:

Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:

все затраченное время

Среднее время, затраченное = --------------------------------------

на одну деталь число деталей

Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:

Это же решение можно представить иначе:

Пример 7.

Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по трем заводам характеризуются следующими данными:

Номер завода	Издержки производства, тыс.руб.	Себестоимость единицы продукции, руб.
1	200	20
2	460	23
3	110	22

Исчислим среднюю себестоимость изделия по трем заводам. Как и прежде, главным условием выбора формы средней является экономическое содержание показателя и исходные данные.

Издержки производства

Средняя себестоимость = ----------------------------------------

единицы продукции ( ) Количество продукции

руб.

Пример 8. Розничный товарооборот фирмы за год составил 820,0 тыс.руб., а за предыдущий год – 785,4 тыс.руб..

Относительная величина динамики, % = 820,0/785,4х100=104,4%.

Пример 9. Предположим, что оборот торговой фирмы в 2004 г. составил 2,0 млрд. руб. Исходя из проведенного анализа складывающихся на рынке тенденций руководство фирмы посчитало реальным в следующем году довести товарооборот до 2,8 млрд. руб. Фактически оборот фирмы в 2005 году составил 2,6 млрд. руб.

На основе этих данных можно сделать анализ сложившейся ситуации по итогам работы в 2005 г.

Фирма планировала увеличить товарооборот в 1,4 раза, или на 40%, так как ОПП = = 1,4; но план был реализован на 92,9%: ОПРП = =0,929. Однако товарооборот фирмы возрос в 1,3 раза или на 30% по сравнению с 2004 г.: ОПД = 1,4 0,929=1,3.

Пример 10. Розничный товарооборот компании за 2006 год составил 1230,7 тыс. руб., в т. ч. т/оборот продовольственных товаров 646,1 тыс. руб., т/оборот непродовольственных товаров – 584,6 тыс. руб.

Уд. вес т/оборота продтоваров во всем т/обороте за 2006 год составил:

646,1 тыс. руб./1230,7 тыс. руб. х100 = 52,5%.

Уд. вес т/оборота непродтоваров во всем т/обороте за 2006 год составил:

584,5 тыс. руб./1230,7 тыс. руб. х 100 = 47,5%.

Сумма удельных весов 100% (52,5%+47,5%).

Пример 11. По данным Федеральной службы государственной статистики РФ численность мужчин составляла 67,0 млн. чел., женщин – 77,1 млн. чел. определяем, сколько женщин приходилось на 100 мужчин. 77,1х100/67,0 = 115 женщин.

Пример 12. Крупной обувной фабрикой проведено выборочное обследование потребляемой женщинами обуви.

Данные выборочного обследования потребляемой женщинами обуви

Размер обуви	32	33	34	35	36	37	38	39	40
Кол-во опрошенных	6	33	247	910	2093	2696	1923	1196	283

Как видно из приведенного вариационного ряда, наиболее часто встречающейся величиной, т.е. модой этого ряда, является размер обуви 37, который носит 2696 человек из опрошенных 9493 человек.

Пример 13. Определение моды в интервальном ряду.

В этих случаях необходимо моду находить расчетным путем по формуле: М_{0=Хмо +i}

Где _{Хмо –} нижняя граница модального интервала (в приведенном примере 140 кв.м);

1. разность между верхней и нижней границей модального интервала ( в примере – 20 кв.м);

f1- частота интервала, предшествующая модальному (в примере 15 магазинов);

f2 - частота модального интервала (в примере 20 магазинов);

f3 – частота интервала, следующего за модальным (в примере – 8 магазинов).

Пример. На основании группировочных данных о торговой площади магазинов произведем расчет моды из интервального ряда.

Группировочные данные по торговой площади магазинов.

Торговая площадь магазинов, кв.м	Число магазинов, единиц
До 100	3
От100 до 120	13
От 120 до 140	15
От 140 до 160	20
От 160 до 180	8
свыше	1
Итого	60

Из группировочных данных видно, что модальный интервал будет лежать в границах от 140 до 160 кв.м, т.к. это интервалу соответствует большая частота (20 магазинов).подставим числовые значения в формулу

М₀= 140+20

Следовательно, из этой группировки больше всего магазинов имеют торговую площадь 145,8 кв.м.

Пример. 14 Дан нечетный вариационный ряд роста студенток

156, 158, 160, 161, 166, 168, 172 – центральным числом (медианой) данного ряда является рост студентки 161 см.

В случае четного вариационного ряда медиана определяется следующим образом: серединные два члена вариационного ряда складываются и делятся пополам.

Дан четный вариационный ряд роста студенток 155 156 158 160 161 166 168 172

М_е =160+161/2 =160,5.

Пример 14. В интервальном ряду даны группы семей по среднемесячному доходу на 1 человека. Требуется определить для этого ряда серединное значение, т.е. медиану.

Расчет медианы по интервальному ряду.

Группы семей по среднемесячному доходу на 1 человека, руб.	Число семей
До 9000	10
9000-12000	20
12000-15000	40
15000-18000	10
Свыше 18000	20
Итого	100

М_е=12000+3000х _{=12000+1500=13500 руб.} следовательно, 50% семей имеют доход на одного человека не более 13500 руб., а 50% имеют доход на одного человека более 13500 руб.

Пример 15. Требуется вычислить средний размер товарооборота предприятий массового питания по округу.

Группировка предприятий массового питания

Группа предприятий массового питания по размерам товарооборота, тыс. руб.	Количество предприятий, % к итогу	Среднее значение, т.е. середина интервала (х), тыс. руб.
До 200	15,8	=(160+200)/2=180
От 200,1 до 240,0	12,6	Х2=(200+240)/2=220
От 240,1 до 260,0	27,2	Х3=(240+260)/2=250
От 260,1 до 400,0	30,0	Х4=(260+400)/2=380
Свыше 400	14,4	Х5 =470
Итого	100,0

Как видно из данных таблицы, варианты носят интервальный характер, т.е. имеют не точное , приблизительное значение. В этих случаях, чтобы вычислить общую среднюю, необходимо найти середину, т.е. центральное значение каждого интервала. Однако первый и последний интервалы даны открытыми: в первом случае отсутствует нижняя граница, в последнем – верхняя.

Исчисление средних по данным интервальных рядов с закрытыми интервалами производится по формуле средней арифметической простой, т.е. для второго интервала

= 220 тыс. руб.( х₂₎

Для фирм массового питания с оборотом до 200 тыс. руб. условно считаем, что этот интервал равен последующему, т.е. 40 тыс. руб. (240-200), затем от 200 тыс. руб. вычитаем 40 тыс. руб. и находим нижнюю границу первого интервала, которая будет равна 160 тыс. руб. (200-40). Затем расчет ведется так же, как и для второй группы, т.е. по формуле средней арифметической простой.

Последний интервал в данном примере рассчитывается аналогично, различие заключается только в том, что принимается интервал не последующий, а предыдущий, равный 140 тыс. руб. (400-260). Затем к 400 тыс. руб. прибавляем 140 тыс. руб. и получаем 540 тыс. руб. х₅₌ =470

Определяем средний взвешенный размер предприятия массового питания:

-

Х= = 290,8 т.руб.

Пример 16.

Распределение рабочих по стажу

Табельный номер рабочего	Стаж работы,		/ /
1	2	- 8	8
2	3	- 7	7
3	12	2	2
4	15	5	5
5	18	8	8
Итого	50	0	30

Порядок расчета простого (невзвешенного) среднего линейного отклонения следующий:

1) по значениям признака исчисляется средняя арифметическая: ;

2) определяются отклонения каждой варианты х_i от средней ;

3) рассчитывается сумма абсолютных величин отклонений: ;

4) сумма абсолютных величин отклонений делится на число значений: .

=50/5=10 лет.

= лет.

Пример 17.

Распределение рабочих по выпуску продукции

Произведено продукции одним рабочим, шт. ( варианта)	Число рабочих,
8	7	56	-2	4	28
9	10	90	-1	1	10
10	15	150	0	0	0
11	12	132	1	1	12
12	6	72	2	4	24
ИТОГО	50	500			74

Исчислим среднюю арифметическую взвешенную:

шт.

Значения отклонений от средней и их квадратов представлены в таблице 5.3. Определим дисперсию: =1,48.

Среднее квадратическое отклонение будет равно шт.

Пример 18.

Расчет дисперсии для интервального ряда на данных о распределении посевной площади колхоза по урожайности пшеницы:

Таблица 5.4 - Распределение посевной площади колхоза по урожайности пшеницы

Урожайность пшеницы, ц/га,	Посевная площадь, га,
14 - 16	100	15	1500	-3,4	11,56	1156
16 - 18	300	17	5100	-1,4	1,96	588
18 - 20	400	19	7600	0,6	0,36	144
20 - 22	200	21	4200	2,6	6,76	1352
ИТОГО	1000		18400			3240

Средняя арифметическая равна ц с 1 га.

Исчислим дисперсию: .

Пример 19.

Имеются следующие данные о производительности труда рабочих:

Данные о производительности труда рабочих

Табельный номер рабочего	Произведено продукции, шт.
1	8	64
2	9	81
3	10	100
4	11	121
5	12	144
ИТОГО	50	510

Произведем следующие расчеты: шт.

.

Пример 20.

Определить дисперсию в дискретном ряду распределения, используя табл. 5.6.

Таблица 5.6 - Распределение рабочих по выпуску продукции

Произведено продукции 1 рабочим, шт. ( )	Число рабочих,
8	7	56	64	448
9	10	90	81	810
10	15	150	100	1500
11	12	132	121	1452
12	6	72	144	864
ИТОГО	50	500	510	5074

.

Пример 21.

При контрольной проверке качества поставленной в торговлю колбасы получены данные о содержании поваренной соли в пробах. По данным выборочного обследования нужно установить с вероятностью 0,95 предел, в котором находится средний процент содержания поваренной соли в данной партии товара.

Составляем расчётную таблицу и по её итогам определяем среднюю пробу малой выборки.

Таблица 6.3

Пробы
4,3	0,2	0,04
4,2	0,1	0,01
3,8	0,3	0,09
4,3	0,2	0,04
3,7	- 0,4	0,16
3,9	- 0,2	0,04
4,5	0,4	0,16
4,4	0,3	0,09
4,0	- 0,1	0,01
3,9	- 0,2	0,04
41,0	—	0,68

Определяем дисперсию малой выборки:

Определяем среднюю ошибку малой выборки:

Исходя из численности выборки (n=10) и заданной вероятности =0,95, устанавливается по распределению Стьюдента (см. Табл. 6.2.) значение коэффициента доверия t=2,263.

Предельная ошибка малой выборки составит:

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что во всей партии колбасы содержание поваренной соли находится в пределах:

, т.е. от 4,1% - 0,2%=3,9%

до 4,1%+0,2%=4,3%.

Пример 22.

При выборочном обследовании партии нарезных батонов 2 000 ед. доля нестандартных изделий в выборке составляет: 0,1 (10 : 100) при установленной с вероятностью =0,954 предельной ошибке выборки .

На основе этих данных доля нестандартных изделий во всей партии составит: или от 0,04 до 0,16.

Способом прямого пересчёта можно определить пределы абсолютной численности нестандартных изделий во всей партии: минимальная численность — 2 000 : 0,04 = 80 шт.; максимальная численность — 2 000 : 0,16 = 320 шт.

Пример 23.

Выпуск продукции предприятия за 1985 -1990 гг. характеризуются следующими данными (в сопоставимых ценах), тыс. руб.:

1985	1986	1987	1988	1989	1990
23,3	24,9	26,6	27,6	29,0	32,2

Требуется произвести анализ динамики выпуска продукции предприятием за пять лет.

1. Определяем цепные и базисные коэффициенты роста (К).

Цепные: Базисные:

2. Определяем цепные и базисные темпы роста (Т).

Цепные: Базисные:

3. Определяем цепные и базисные абсолютные приросты ( ).

Цепные: Базисные:

4. Определяем цепные и базисные темпы прироста ( ).

Цепные: Базисные:

Проверим связь между базисными и цепными абсолютными приростами:

.

Проверим связь между базисными и цепными коэффициентами роста:

.

Пример 24. Расчет индивидуальных и агрегатных индексов физического объёма продукции.

Вид продукции	Количество выпущенной продукции,тыс. штук (q)		Сопоставимая цена за единицу продукции, тыс. рублей ( р0 )
	базисный год	отчетный год
1.	250	280	125
2.	750	900	80
3.	500	620	135

Индивидуальные индексы физического объёма продукции можно вычислить по следующей формуле: i_q = q ₁ : q₀ .

Для продукции № 1: i _q = 280 : 250 = 1,12 или 112%

Для продукции № 2: i _q = 900 : 750 = 1,2 или 120%

Для продукции № 3: i _q = 620 : 500 = 1,24 или 124%

Агрегатный индекс динамики физического объёма продукции можно рассчитать следующим образом:

I_q = = = 1,2 или 120 %

Объём произведенной продукции возрос в отчетном периоде на 20 %.

Пример 25. Рассмотрим на примере расчет среднего индекса физического объёма товарооборота фирмы.

№№ магазина	Товарооборот магазинов в 1 квартале, млн. рублей ( p 0 q0 )	Товарооборот магазинов в 2 квартале, млн. рублей ( p 1 q1 )	Изменение физического объёма товарооборота, % ( i q - 100 % )
№ 1	6000	7200	+ 5
№ 2	7500	8000	+ 2
№ 3	11200	10000	- 3

Средний арифметический индекс физического объёма товарооборота, где весами служит цена отдельных видов товаров в базисном периоде можно вычислить по следующей формуле:

I_q = = 1,005

Таким образом, физический объём товарооборота фирмы возрос во втором квартале на 0,5 %.

Учитывая, что отношение p₀q₀: p₀q₀ характеризует долю товарооборота одного магазина в общем товарообороте фирмы базисного периода (d₀ ), средний арифметический индекс физического объёма товарооборота можно записать следующим образом:

I_q = = 1,05 0,24 + 1,02 0,3 + 0,97 0,46 = 1,005

Пример 26. Рассмотрим расчет индивидуальных и агрегатного индексов себестоимости и сумм экономии (перерасхода) от снижения себестоимости.

Виды продукции	Фактически произведено продукции в отчетном периоде, млн. штук ( q 1 )	Cебестоимость еденицы продукции, тыс. руб.
		Базисный год (z0)	Oтчетный год (z1)
№ 1	500	79,3	75,1
№ 2	200	64,0	60,2
№ 3	400	120,0	110,5

1. Определим изменение ( в % ) себестоимости в отчетном периоде по сравнению с базисным каждого изделия и всей продукции в целом. Для того, чтобы вычислить изменение себестоимости по каждому виду продукции следует рассчитать индивидуальные индексы, а по всей продукции в целом - агрегатный индекс.

а) индивидуальные индексы : i _z = z₁: z₀

i _z = 75,1 : 79,3 = 0,947 или 94,7 %

i _z = 60,2 : 64,0 = 0,941 или 94,1 %

i _z = 110,5 : 120,0 = 0,921 или 92,1 %

б) агрегатный индекс себестоимости продукции

I_z = = 0,9334 или 93,34 %

В отчетном периоде по сравнению с базисным себестоимость единицы продукции № 1 снизилась на 5,3 %, продукции № 2 - на 5,9 %, продукции № 3 - на 7,9 %, в целом по всей продукции - на 6,66 %.

2. Вычислим абсолютную величину экономии (перерасхода) от изменения себестоимости в отчетном периоде по сравнению с базисным по каждому виду продукции и по всей продукции в целом.

а) для каждого вида продукции: z = z ₁ q₁ - z₀ q₁

z = ( 75,1 - 79,3 ) 500 = - 2100 тыс.рублей

z = ( 60,2 - 64,0 ) 200 = - 760 тыс. рублей

z = ( 110,5 - 120,0 ) 400 = - 3800 тыс. рублей

б) для всей продукции в целом : z = z ₁ q₁ - z₀ q₁

z = 93790 - 100450 = - 6600 тыс. рублей

Экономия затрат от снижения себестоимости продукции составила 6600 тыс. рублей, в том числе по продукции № 1 - 2100 тыс. рублей, по продукции № 2 - 760 тыс. рублей, по продукции № 3 - 3800 тыс. рублей.