Числовые отношения
К числу отношений, заданных на множестве чисел, можно отнести следующие:
“порядок чисел”– бинарное ориентированное отношение с атрибутом“меньше или равно_”и атрибутом“больше или равно_”;
“строгий порядок чисел”– бинарное ориентированное отношение с атрибутом“меньше_”и атрибутом“больше_”;
“последовательность целых чисел ” – бинарное ориентированное антисимметричное отношение, использующее атрибут “предшествующее_” и атрибут “следующее_”, заданное на множестве целых чисел. Каждый кортеж этого отношения связывает два целых числа, первое из которых непосредственно предшествует второму, а второе – непосредственно следует за первым (т.е. является результатом прибавления единицы к первому числу);
“арифметическое отрицание” – бинарное неориентированное отношение;
“числовой модуль”– бинарное ориентированное отношение с атрибутом “модуль_”и с атрибутом, задаваемым по умолчанию;
“целая часть числа”– бинарное ориентированное отношение с атрибутом“целое_”и с атрибутом, задаваемым по умолчанию;
“сложение”– ориентированное отношение со связками разной мощности (но не менее 3) и с атрибутами“сумма_” и“слагаемое_”(последний атрибут может задаваться по умолчанию);
“умножение”– ориентированное отношение со связками разной мощности (но не менее 3) и с атрибутами“произведение_” и“сомножитель_”(последний атрибут может задаваться по умолчанию);
“степень”– классическое тернарное отношение с атрибутами“корень_” (основание степени),“логарифм_”(показатель степени),“степень_”(результат возведения в степень);
“факториал”– классическое бинарное отношение с атрибутами“факториал_”и“основание_” ;
“sin”– классическое бинарное отношение с атрибутами“sin_” и “arcsin_” ;
“cos”– классическое бинарное отношение с атрибутами“cos_” и “arccos_” ;
“tg”– классическое бинарное отношение с атрибутами“tg_” и “arctg_” ;
“ctg”– классическое бинарное отношение с атрибутами“ctg_” и “arcctg_” .
Примечание.Следует четко отличать числовые отношения и действия, направленные на вычисление неизвестных чисел, связанных указанными отношениями между собой и с известными числами. В частности, элементарным таким действием является вычисление неизвестного числа, для которого существует кортеж одного из указанных отношений, связывающий вычисляемое число только с известными числами. При этом одному отношению может соответствовать несколько таких действий. Например, отношению“сложение”соответствуют действие сложения и действие вычитания, отношению“степень”– действие вычисления корня, действие вычисления логарифма, действие возведения в степень.
Рассмотрим возможные варианты изображения кортежей для некоторых из перечисленных отношений, вводя для их записи в язык SCBsновые разделители (см.scb-тексты 3.3.14.1 – 3.3.14.8) и новые виды сложныхscb-идентификаторов.
SCB-текст 3.3.14.1. Варианты изображения отношения нестрогого порядка чисел
|
порядок чисел меньше или равно_ : x , больше или равно_ : у ; |
|
|
|
|
| |
|
x ≤ y ; /* или y ≥ x ; */ /* Здесь введены новые разделители “≤” и “≥”, обозначающие неидентифицируемую связку отношения “порядок чисел” */ |
|
SCB-текст 3.3.14.2. Варианты изображения отношения строгого порядка чисел
|
строгий порядок чисел меньше_ : x , больше_ : у ; |
|
|
|
|
| |
|
x < y ; /* или y > x ; */ /* Здесь введены новые разделители “<” и “>”, обозначающие неидентифицируемую связку отношения “ строгий порядок чисел” */ |
|
SCB-текст 3.3.14.3. Варианты изображения отношения арифметического отрицания
|
арифметическое отрицание { x , у } ; |
|
|
|
|
| |
|
x = ( y) ; /* или y = ( x) ; */ /* Сложный идентификатор вида ( y) обозначает число, являющееся результатом арифметического отрицания числа x */ |
|
SCB-текст 3.3.14.4. Варианты изображения отношения арифметического сложения и вычитания
|
сложение x , у , сумма_ : z ; |
|
|
|
|
| |
|
z = ( x + y ) ; /* или z = ( y + x ) ; */ /* Сложный идентификатор вида ( y + x ) обозначает число, являющееся результатом сложения чисел x и у */ |
| |
|
|
|
|
|
x = ( z - y) ; /* или y = ( z - x) ; */ /* Сложный идентификатор вида ( z - y) обозначает число, являющееся результатом вычитания числа у из числа z . При этом число у называют вычитаемым, а число z – уменьшаемым. Аналогично – ( z - x) */ | ||
SCB-текст 3.3.14.5. Варианты изображения отношения арифметического умножения и деления
|
умножение x , у , произведение_ : z ; |
|
|
|
|
| |
|
z = ( x y) ; /* или z = ( y x) ; */ /* Сложный идентификатор вида ( y x) обозначает число, являющееся результатом умножения чисел x и у */ |
| |
|
|
|
|
|
x = ( z / y) ; /* или y = ( z / x) ; */ /* Сложный идентификатор вида ( z / y) обозначает число, являющееся результатом деления числа z на число y . При этом число z называют делимым, а число у – делителем. Аналогично – ( z / x) */ | ||
SCB-текст 3.3.14.6. Варианты изображения отношения“степень”
|
степень корень_ : a , логарифм_ : n , степень_ : z ; |
|
|
|
|
| |
|
z = ( a ↑ n) ; /* Сложный идентификатор вида ( a ↑n) обозначает число, являющееся результатом возведения числа a в n-ую степень. При этом число a называют основанием степени, число n – показателем степени, а число z – степенью. В математической литературе рассматриваемый сложный идентификатор имеет вид an. */ |
| |
|
|
|
|
|
a = ( n √ z ) ; /* Сложный идентификатор вида ( a √ n ) обозначает число, являющееся результатом извлечения корня n-ой степени из числа z. При этом число z называют подкоренным числом, число n – показателем корня, а число a – корнем. В математической литературе рассматриваемый сложный идентификатор имеет вид n√z. */ | ||
|
|
|
|
|
n = log ( a , z ) ; /* Сложный идентификатор вида log ( a , z ) обозначает число, являющееся результатом взятия логарифма числа z по снованию a. При этом число a называют основанием логарифма, число z – логарифмируемым числом, а число n – логарифмом. В математической литературе рассматриваемый сложный идентификатор имеет вид logaz . */ | ||
SCB-текст 3.3.14.7. Варианты изображения отношения“факториал”
|
факториал основание_ : x , факториал_ : y ; |
|
|
|
|
| |
|
y = ( x!) ; /* Сложный идентификатор вида ( x!) обозначает число, являющееся результатом вычисления факториала от числа x. */ |
|
SCB-текст 3.3.14.8. Варианты изображения отношения“sin ”
|
sin arcsin_ : x , sin_ : y ; |
|
|
|
|
| |
|
y = sin ( x) ; /* Сложный идентификатор вида sin ( x) обозначает число, являющееся результатом вычисления синуса от числа x. */ |
|
Примечание.Ключевые слова, используемые при построении сложных идентификаторов и совпадающих с идентификаторами соответствующих отношений, всегда подчёркиваются, чтобы их отличить от идентификаторов этих отношений. Следовательно, например, ключевое слово“ sin”в сложном идентификаторе вида“ sin ( x) ” и простой идентификатор“ sin”, обозначающий соответствующее отношение, имеют разную семантику.
Формально вычисление неизвестного числа заключается в построении представления этого числа в той или иной системе счисления. Так, например, представление числа в десятичной системе счисления – это рассмотрение его как суммы чисел, каждое из которых является произведением десятичной цифры (т.е. натурального числа в диапазоне от0 до9) на число, являющееся результатом возведения числа10в целую степень.
В
качестве примера приведем представление
на языке SCBчисла347.5 в десятичной системе счисления (см.scbg-текст3.3.14.1).
Напомним, что представление числаxв позиционной (в частности, в
десятичной) системе счисления есть его
разложение на слагаемые следующего
вида
,
где
i– целое число,
a– натуральное число, являющееся основанием (базисом) системы счисления (для десятичной системы – это число10),
xi– натуральное число, находящееся в интервале0xi ( a - 1 ) .
SCBg-текст 3.3.14.1. Представление числа347.5в десятичной системе счисления
|
|
Нетрудно заметить, что с позиции языка SCBсуть представления чисел в той или иной системе счисления заключается в построениивзаимно однозначногосоответствия между представляемыми числами и такимиscb-текстами (конструкциями), в которых используетсяконечноеколичествозаранее известных(одних и тех же, зафиксированных) для каждой системы счисленияscb-узлов. Указанные узлы будем называтьключевыми узламисоответствующей системы счисления. Для десятичной системы счисления такими ключевыми узлами являются:
знаки натуральных чисел в интервале от 0до9включительно (десятичные цифры);
знак числа 10(основание десятичной системы счисления);
знаки отношений “сложение”, “умножение”, “корень-логарифм-степень” ;
знаки атрибутов “сумма_”,“произведение_”, “корень_”, “логарифм_”, “степень_”.
Итак, теоретико-множественная трактовка (на основе понятий языка SCB) десятичного представления заданного числа есть построениеscb-конструкции указанного выше вида (конструкции, котораяоднозначнозадает представляемое число) ипривязкаэтой конструкции к перечисленным выше ключевым узлам. Привязка сводится к выявлению в построенной конструкции узлов, синонимичных ключевым узлам, и к последующемусклеиваниютаких синонимичных узлов.
Принципиальными здесь являются следующие обстоятельства:
указанная привязка есть не что иное, как процедура вводаинформации, являющейся десятичным представлением некоторого числа и записанной на языкеSCB. Имеется в виду ввод информации в память системы, где хранящаяся там информация также представлена на языкеSCB. То есть ввести информацию в такую память – это построить некоторуюscb-конструкцию (scb-текст) и склеить некоторые ееscb-узлы с узлами, уже хранящимися в памяти;
ключевые узлы, к которым осуществляется привязка вводимой информации заданноговида, должны быть заранееизвестны(!)и соответственно количество их должно бытьконечным;
после привязки вводимого scb-текста к ключевым узлам некоторые неключевые узлы вводимого текста могут оказаться синонимичными тем узлам, которые уже присутствуют в текущем состоянии памяти, и, следовательно, должны подлежать склеиванию с последними. Но принципиальным здесь является то, что такого рода синонимия может быть выявлена формальными средствами без участия субъекта, который инициирует ввод информации.
Примечание.В рамках отношения“сложение” можно выделить подмножество“сложение десятичное”, в кортежах которого все слагаемые имеют вид( xi ( 10↑ i ) ) , где
xi–натуральное число, находящееся в интервале0xi 9 ;
i–целое число.
Очевидно, что десятичное представление числа в языке SCBможно также трактовать как кортеж специального отношения“ десятичное представление”, заданного на множестве десятичных цифр (т.е. натуральных чисел от0до9) и использующего атрибуты, задающие номер соответствующего разряда в десятичном представлении.
В качестве примера на scbg-тексте 3.3.14.2 приведено представление числа347.5с помощью указанного специального отношения.
SCBg-текст 3.3.14.2. Представление числа347.5в десятичной системе счисления с помощью отношения“десятичное представление”
|
|
Примечание 1.Понятие порядкового номера расширяется на область всех целых чисел, т.к. порядковым номером может быть не только натуральное число, но и целое отрицательное число. При этом порядковый номер для отношения“десятичное представление ” суть не что иное, как номер соответствующего десятичного разряда.
Примечание 2.Представляемое число здесь указывается с помощью атрибута, задаваемого по умолчанию.
Учитывая то, что десятичное представление чисел легко и однозначно изображается в виде цепочки символов (цепочки цифр), это представление можно изображать в виде содержимого scb-узла. При этомscb-узел, обозначающий число, иscb-узел, содержимое которого является строковым изображением десятичного представления этого числа, связаны отношением“строковая запись десятичного представления” (см.scbg-текст 3.3.14.3).
|
SCBg-текст 3.3.14.3. Представление числа347.5с использованием отношения“строковая запись десятичного представления ” |
|
|
Примечание.В данном случае строковая запись десятичного представления заданного числа (содержимое соответствующегоscb-узла) совпадает с идентификатором тогоscb-узла, который является знаком этого числа. Но это совсем не обязательно. Идентификаторы чисел (числовых констант) могут формироваться достаточно произвольным образом, в частности, в тех случаях, когда десятичное представление числа в текущий момент не известно.
Числовые отношения можно условно разбить на следующие классы:
отношения, областью определения которых является либо множество всевозможных чисел, либо множество чисел определенного класса (натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных);
отношения, в область определения которых входят не только числа, но и множества чисел;
отношения, заданные на множестве числовых отношений того или иного вида (такие отношения будем называть числовыми метаотношениями).
К числовым метаотношениям, в частности, относится метаотношение, связывающее две числовые функции, одна из которых является результатом дифференцирования другой.