3. Основные свойства функции

1) Чётность

Опр.: Функция y = f (x) называется чётной, если для любых значений x из области определения f (- x) = f (x), нечётной, если f (- x) = - f (x). В противном случае функция называется функцией общего вида.

График чётной функции симметричен относительно оси ординат Оу, график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Примеры: 1) Функция является функцией общего вида, т.к. . Её график не является симметричным ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат

2) Функция - нечётная, т.к. .

3) Функция является чётной, т.к. .

4) Функция является чётной, т.к. .

2) Монотонность

Функция y = f (x) называется строго возрастающей на промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. .

Функция y = f (x) называется строго убывающей на промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. .

Функция y = f (x) называется невозрастающей на промежутке Х, если выполняется условие:

.

Функция y = f (x) называется неубывающей на промежутке Х, если выполняется условие:

.

Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными.

Пример: Функция является монотонной, причём она возрастает во всей области определения, т.е. .

3) Ограниченность

Функция y = f (x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число А > 0, что .

Пример: Функция является ограниченной, т.к. ; функция не является ограниченной: .

4) Периодичность

Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое положительное число Т > 0, что f (x + Т) = f (x). Наименьшее число с таким свойством называется периодом функции.

Пример: Тригонометрические функции и являются периодическими с периодом 2π; функции , - периодические с периодом π.

Для построения графика периодической функции достаточно изобразить его на отрезке, длина которого равна периоду, а затем продолжить его в обе стороны, повторяя основной график.

4. Обратная функция

Обратная функция x = φ (y)

Пусть даны два множества Х и Y. Обратной по отношению к y = f (x) называется функция x = φ (y), которая каждому ставит в соответствие такое Х, что f (x) = y; обозначается y = ( f (x))-1 или y = f -1(x) (т.е. будем считать у – независимой переменной, а х – зависимой, тогда х является функцией переменной у, обратной к данной).

Таким образом, для нахождения функции x = φ (y), обратной к функции y = f (x), нужно решить уравнение f (x) = y относительно х. При этом следует помнить, что для функции y = f (x) обратная функция x = φ (y) может быть многозначной.

Примеры: 1) Функция является обратной к y = 2x + 3.

2) Функция является обратной к . 3) Функция является обратной к . 4) Для функции обратной является многозначная функция при .

Графики взаимообратных функций y = f (x) и x = φ (y) симметричны относительно прямой y = x.