5. Сложная функция
Пусть переменная
у зависит
от переменной u,
которая в свою очередь зависит от
переменной х,
т.е.
,
.
Тогда при изменении х
будет меняться
u,
а потом будет меняться и у.
Значит у
является функцией х:
.
Эта функция называется
сложной функцией (или
функцией от функции),
переменная u
называется промежуточной переменной.
Указанную сложную функцию называют
также суперпозицией
функций f
и
.
Сложную функцию можно составить из любого числа функций.
Примеры:
1)
-
сложная функция; составлена из функций
и
;
2)
-
сложная функция; составлена из функций
и
;
3)
-
сложная функция; составлена из функций
,
и
.
6. Элементарные функции
К основным элементарным функциям относят:
степенные функции
,
где α – любое действительное число;показательные функции
,
где
а >
0,
;логарифмические функции
,
где
а >
0,
;тригонометрические функции , , , ;
обратные тригонометрические функции
,
,
,
.
!!! Задание на СРС: составить конспект по основным элементарным функциям (включить в рассмотрение - графики, свойства).
Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций суперпозиции, называются элементарными.
Примеры
элементарных
функций:
;
;
;
.
Гиперболические функции также являются элементарными, их графики и основные свойства приведены в приложении 1.
Примерами неэлементарных функций являются функции Дирихле, функции y = [x], y = {x}.
Пример 1: Функция Дирихле
определена на всей числовой прямой, множество её значений состоит из двух чисел: 0 и График её построить нельзя.
Пример 2:
График функции y = [x] |
Функция y
= [x]
– целая часть от значений аргумента
х
– задана для всех действительных
значений
R,
а множество её значений состоит из
целых чисел
|
Z.
График представлен на рис.
Функция y
= {x}
– дробная часть от значений аргумента
x.
Областью определения является множество
всех действительных чисел
R,
множеством значений – полуинтервал
.
График представлен на рис.
Название «элементарные функции» сложилось исторически и не означает, что они являются простыми, тривиальными.
Классификация элементарных функций:
Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).
Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий.
Алгебраические функции делятся на:
целые рациональные функции (многочлены)
;
дробно-рациональные функции (отношение двух многочленов)
;
иррациональные функции (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).
Любая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К трансцендентным относятся тригонометрические, обратные тригонометрические, показательные, логарифмические функции.
Классификация элементарных функций представлена на схеме:
Графики многих элементарных функций могут быть построены с помощью преобразований из графиков основных элементарных функций.